[論文レビュー] Towards a mathematical definition of Coulomb branches of $3$-dimensional $\mathcal N=4$ gauge theories, II

Alexander Braverman, Michael Finkelberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 27被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、3次元 $\mathcal{N}=4$ ゲージ理論におけるクーロン枝を、コタングェント型の物質（$\mathbf{M} = \mathbf{N} \oplus \mathbf{N}^*$）を仮定し、アフィングラスマンジャンに基づくモジュライスタックのコホモロジーを用いて、$\mathbb{C}^\times$-作用を伴うアフィン代数的空間として数学的に定義する。主な貢献は、コホモロジー上に可換な積構造を幾何学的に構成し、クーロン枝を関数のスペクトルとして実現することにある。

ABSTRACT

Consider the $3$-dimensional $\mathcal N=4$ supersymmetric gauge theory associated with a compact Lie group $G_c$ and its quaternionic representation $\mathbf M$. Physicists study its Coulomb branch, which is a noncompact hyper-Kähler manifold with an $\mathrm{SU}(2)$-action, possibly with singularities. We give a mathematical definition of the Coulomb branch as an affine algebraic variety with $\mathbb C^ imes$-action when $\mathbf M$ is of a form $\mathbf N\oplus\mathbf N^*$, as the second step of the proposal given in arXiv:1503.03676.

研究の動機と目的

• 3次元 $\mathcal{N}=4$ ゲージ理論におけるクーロン枝を、クォaternion的物質がコタングェント型である場合に、数学的に厳密に定義すること。
• 複素射影直線 $\mathbb{P}^1$ 上の正則 $G$-バンドルとその切断を伴うモジュライスタックのコホモロジーに、可換代数構造を定義することにより、臨界コホモロジーをコンパクトな補助を持つ通常のコホモロジーに置き換えること。
• ベイリノスン＝ドリーベィンのグラスマンジャンの文脈において、畳み込みを用いて量子ヒルベルト空間の幾何的実現を確立すること。
• 物理的3次元TQFTの融合過程に対応するコホモロジー群上の積構造を構成すること。

提案手法

• コンパクトな補助を持つコホモロジーのスペクトルとしてクーロン枝をモデル化するため、正則 $G$-バンドル $\mathscr{P}$ と $\mathscr{P} \times_G \mathbf{N}$ 上の切断 $s$ の対 $(\mathscr{P}, s)$ のモジュライスタックを用いる。
• 元のモジュライスタックを、2つの形式的ディスクを穿孔ディスクに沿って貼り合わせて得られる非分離スキーム $\tilde{D}$ を用いたものに置き換えることで、アフィングラスマンジャン幾何学の技法にアクセスする。
• 3次元TQFTの3次元球体に2つの穴があいた図式を模倣し、ファイバー積と適切な押し出し写像を用いた図式を通じてコホモロジー上に畳み込み積を定義する。
• 導来カテゴリにおける基底変換定理と適切な基底変換を適用し、畳み込み積の結合的および適切に定義されていることを検証する。
• ベイリノスン＝ドリーベィンのグラスマンジャンの構造を用いて、畳み込みがクーロン枝上の積構造に対応することを関係づける。
• 新しいモジュライスタックのコンパクト補助を持つコホモロジーが、元の臨界コホモロジーと同型であり、次数付き次元を保存することを予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元 $\mathcal{N}=4$ ゲージ理論におけるクーロン枝を、物質表現がコタングェント型である場合に、数学的に厳密に定義することは可能か？
• RQ2 クーロン枝の関数空間に現れる可換積構造の幾何的起源は何か？
• RQ3 物理的定義で用いられる臨界コホモロジーは、より小さなモジュライスタックの通常のコンパクト補助コホモロジーに置き換え可能か？
• RQ4 2つの境界成分を持つ3次元多様体の3次元TQFTの図式は、アフィングラスマンジャン上の畳み込み構造とどのように関係するか？
• RQ5 新しいモジュライスタックのコホモロジーは、元の臨界コホモロジーと同型であり、次数付き次元を保存するか？

主な発見

• クーロン枝は、$\mathbb{P}^1$ 上の $G$-バンドルとその切断を伴うモジュライスタックのコンパクト補助を持つコホモロジー環のスペクトルとして、数学的に厳密に定義される。コタングェント型の仮定のもとで成立する。
• 畳み込み図式を用いて、ベイリノスン＝ドリーベィンのグラスマンジャンを模倣した幾何的構成により、このコホモロジー環上に可換な積構造が構成される。
• この構成は、形式的ディスク上の時間発展として解釈される、境界球面を1組持つ小さな3次元球体の3次元TQFTの図式に基づく幾何的動機付けを持つ。
• モジュライスタックの置き換えによっても、コホモロジー群の次数付き次元が変化しないことから、同型性の予想が支持される。
• 基底変換定理を用いた導来カテゴリにおける詳細な図式追跡により、積の結合的が証明され、引き戻しと押し出しの整合性が確認される。
• 著者らは、新しいモジュライスタックのコホモロジーが自然に臨界コホモロジーと同型であり、物理的定義と数学的定義の間の橋渡しを可能にすると予想する。