[論文レビュー] Towards Logarithmic GLSM: The r-spin case

Qile Chen, Felix Janda+2 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、安定対数写像を用いてゲージ線形セミモデル（GLSM）のモジュライ空間をコンパクト化する対数的枠組みを確立し、縮小された完全な障害理論を可能にすることで、ウィッテンのrスピンの仮想サイクルを回復する。著者らは、対数的境界ストラタにKiem–Liの余写像技術を拡張し、その仮想サイクルが Chang–Li–Li のrスピンサイクルと一致する、適切なモジュライスタックを構成する。これにより、高 genus のGromov–Witten理論における計算的応用への道筋が開かれる。

ABSTRACT

In this article, we establish the logarithmic foundation for compactifying the moduli stacks of the gauged linear sigma model using stable log maps of Abramovich-Chen-Gross-Siebert. We then illustrate our method via the key example of Witten's $r$-spin class to construct a proper moduli stack with a reduced perfect obstruction theory whose virtual cycle recovers the $r$-spin virtual cycle of Chang-Li-Li. Indeed, our construction of the reduced virtual cycle is built upon the work of Chang-Li-Li by appropriately extending and modifying the Kiem-Li cosection along certain logarithmic boundary. In the subsequent article, we push the technique to a general situation. One motivation of our construction is to fit the gauged linear sigma model in the broader setting of Gromov-Witten theory so that powerful tools such as virtual localization can be applied. A project along this line is currently in progress leading to applications including computing loci of holomorphic differentials, and calculating higher genus Gromov-Witten invariants of quintic threefolds.

研究の動機と目的

• GLSMモジュライスタックの対数的コンパクト化を、安定対数写像を用いて開発すること。
• rスピンの場合の、縮小された完全な障害理論を持つ適切なモジュライスタックを構成すること。
• 対数的設定における余写像局所化仮想サイクルを用いて、Chang–Li–Li のrスピン仮想サイクルを回復すること。
• 仮想局所化および他のGromov–Witten手法をGLSMおよびrスピン不変量へ応用可能にする。

提案手法

• 均一で最大の退化度を持つ安定対数写像を用いて、GLSMモジュライスタックをコンパクト化する。
• 対数的境界除集合に沿ったKiem–Liの余写像技術の対数的強化を導入する。
• 縮小された余写像の退化度集合への制限により、対数モジュライ空間上に縮小された完全な障害理論を定義する。
• 仮想プッシュバックと余写像局所化を適用し、対数空間上の縮小仮想サイクルと元のrスピンサイクルとの関係を確立する。
• 対数拡張スタック上に相対的余写像を構成し、最大境界ストラタに沿ってその全射性を証明する。
• 仮想プッシュバックと余写像局所化の整合性を用いて、対数空間上の縮小サイクルが所望のrスピンサイクルへ写像されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GLSMのモジュライスタックは、対数的安定写像を用いて、縮小された完全な障害理論を支持する形でコンパクト化可能か？
• RQ2 対数的余写像局所化構成を用いて、rスピン仮想サイクルはどのように回復可能か？
• RQ3 対数的境界ストラタは、GLSMにおけるKiem–Liの余写像技術を拡張するために果たす役割は何か？
• RQ4 対数モジュライ空間上の縮小仮想サイクルは、Chang–Li–Li の古典的rスピンサイクルと一致するか？
• RQ5 この枠組みは、GLSMおよびGromov–Witten理論における仮想局所化と効果的な計算を可能にする形に一般化可能か？

主な発見

• 本稿は、対数的コンパクト化を用いて、縮小された完全な障害理論を持つ適切なGLSMモジュライスタックを構成した。
• 対数モジュライ空間上の縮小仮想サイクルが、Chang–Li–Li のrスピン理論の仮想サイクルと同型であることが示された。
• 対数拡張スタック上の縮小余写像は、最大境界除集合に沿って全射であり、局所化された仮想サイクルの適切な台を保証する。
• 対数モジュライ空間の開部分スタック上の仮想サイクルは、rスピンの場合にウィッテンのトップチーサン類を回復する。
• この構成は、GLSMおよびrスピン不変量への仮想局所化および他のGromov–Witten技法の応用の基盤を提供する。