[論文レビュー] Towards the ample cone of $\mgn$

Angela Gibney, Seán Keel+1 more|ArXiv.org|Jun 27, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、安定な $n$ 点付き genus $g$ 曲線のモジュライ空間 $\overline{M}_{g,n}$ の正なコーンの推測的特徴付けを提案する：ある除数が正であるとは、すべての1次元のストラトゥムと正に交わることである。主な結果は、この予想がすべての $g$ に対して成り立つことと、$g=0$ の場合に成り立つことが同値であることであり、一般の問題を genus zero の場合に還元する。genus zero の場合、低次元では既に知られており、GIT商とトーリック変形からの証拠によって裏付けられている。

ABSTRACT

In this paper we study the ample cone of the moduli space $\mgn$ of stable $n$-pointed curves of genus $g$. Our motivating conjecture is that a divisor on $\mgn$ is ample iff it has positive intersection with all 1-dimensional strata (the components of the locus of curves with at least $3g+n-2$ nodes). This translates into a simple conjectural description of the cone by linear inequalities, and, as all the 1-strata are rational, includes the conjecture that the Mori cone is polyhedral and generated by rational curves. Our main result is that the conjecture holds iff it holds for $g=0$. More precisely, there is a natural finite map $r: \vmgn 0. 2g+n. o \mgn$ whose image is the locus $ gn$ of curves with all components rational. Any 1-strata either lies in $ gn$ or is numerically equivalent to a family $E$ of elliptic tails and we show that a divisor $D$ is nef iff $D \cdot E \geq 0$ and $r^*(D)$ is nef. We also give results on contractions (i.e. morphisms with connected fibers to projective varieties) of $\mgn$ for $g \geq 1$ showing that any fibration factors through a tautological one (given by forgetting points) and that the exceptional locus of any birational contraction is contained in the boundary. Finally, by more ad-hoc arguments, we prove the nefness of certain special classes.

研究の動機と目的

• Mumford が提起した、$\overline{M}_{g,n}$ の正なコーンの構造に関する未解決問題を解消すること。
• 1次元ストラトゥムとの正の交差性に基づく、正なコーンの線形不等式による記述の提案。
• 自然な有限被覆 $r: \overline{M}_{0,2g+n} \to \overline{M}_{g,n}$ を用いて、$g \geq 1$ の一般の場合を genus zero の場合に還元すること。
• $\overline{M}_{g,n}$ の変形、特にファイブレーションと除数的変形を分析し、それらがトロイタル写像を介してまたは楕円的テイルのブLOWダウンを通じて因数分解されることを示すこと。
• Mori コーンが有理曲線と楕円的テイルによって生成されることを確立し、$g \geq 5$ のとき、相対 Picard 数が1の除数的変形の唯一の例外的位相は楕円的テイルであることを示すこと。

提案手法

• 正なコーンの性質を $\overline{M}_{g,n}$ と $\overline{M}_{0,2g+n}$ の間で関連付けるために、有理曲線の集合 $\overline{R}_{g,n}$ を像とする自然な有限準同型 $r: \overline{M}_{0,2g+n} \to \overline{M}_{g,n}$ を用いる。
• $\overline{M}_{g,n}$ 上の除数 $D$ が正であることは、すべての1次元ストラトゥムと非負の交わりを持つことと、$D|_{\overline{F}_{g,n}}$ が正であること（$\overline{F}_{g,n}$ はフラッグ曲線の集合）と同値であることを示す。
• $\overline{NE}_1(\overline{M}_{g,n})$ を、$\overline{NE}_1(\overline{M}_{0,2g+n}) \times \mathbb{R}_{\geq 0}$ の商として特徴付け、生成子として有理曲線と楕円的テイルを含む。
• $g \geq 2$ の場合の $\overline{M}_{g,n}$ のファイブレーションを分析し、それらが「点を無視する」トロイタルファイブレーションと有理型写像の合成を通じて因数分解されることを証明する。
• 変形理論と相対 Néron-Severi 群を用いて、$g \geq 5$ のとき、相対 Picard 数が1の唯一の除数的変形は楕円的テイルのブLOWダウンであることを示す。
• $\overline{M}_{0,n}$ に関する既知の結果（Kapranov の逆極限記述、Losev-Manin のトーリックコンパクト化 $\overline{L}_{n-2}$）を活用し、予想に対する証拠を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての1次元ストラトゥムとの正の交差性によって、$\overline{M}_{g,n}$ の正なコーンが特徴付けられるか？
• RQ2 ある除数がすべての1次元ストラトゥムと正に交わるならば正であるという予想が、$g \geq 1$ に対して成り立つことと、$g = 0$ の場合に成り立つことが同値であるか？
• RQ3 $g \geq 2$ のとき、$\overline{M}_{g,n}$ の可能なファイブレーションと除数的変形は何か？
• RQ4 $\overline{NE}_1(\overline{M}_{g,n})$ の極小レイトスは、有理曲線と楕円的テイルによって生成されるのか？
• RQ5 Mori コーン $\overline{M}_{g,n}$ は、$\overline{M}_{0,2g+n}$ のMori コーンの商として記述できるか？

主な発見

• 予想 $F_1(\overline{M}_{g,n})$ が成り立つことは、$g = 0$ の場合に成り立つことと同値であり、一般の問題は genus zero の場合に還元される。
• $\overline{M}_{g,n}$ 上の除数 $D$ が正であることは、すべての1次元ストラトゥムと非負の交わりを持ち、$D|_{\overline{F}_{g,n}}$ が正であること（$\overline{F}_{g,n}$ はフラッグ曲線の集合）と同値である。
• $\overline{NE}_1(\overline{M}_{g,n})$ は、$\overline{R}_{g,n}$ 内の有理曲線と楕円的テイルによって生成され、後者は族全体にわたって数値的に同値である。
• $g \geq 5$ かつ特徴が0のとき、$\overline{M}_{g,n}$ の相対 Picard 数が1の唯一の除数的変形は、楕円的テイルの集合のブLOWダウンである。
• トーリックコンパクト化 $\overline{L}_{n-2}$ からの証拠により、予想 $F_1(\overline{M}_{0,n})$ は支持されている。$\overline{L}_{n-2}$ は $\overline{M}_{0,n}$ の変形であり、すべての $k$ に対して $F_k(\overline{L}_{n-2})$ を満たす。
• 特徴が0のとき、$F_1(\overline{M}_{g,n})$ は $g+n \leq 7$ のときおよび $n=0$ のとき $g \leq 11$ のとき成り立つ。これは、$g \leq 4$ のときの既存の結果を拡張する。