[論文レビュー] Trace Anomaly Matching and Exact Results For Entanglement Entropy

Shamik Banerjee|arXiv (Cornell University)|May 19, 2014

Quantum many-body systems参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、UVでCFTである偶数次元非 conformal場理論が自明なIR固定点に至る系において、エンタングルメントエントロピーの対数発散項について、正確で摂動論的でない表現を導出する。断面が錐状の背景におけるダイポン有効作用のトレース異常マッチングを用いて、Weyl異常とEuler密度に比例する普遍的項を計算し、4次元以上において、弱い結合およびホログラフィックな結果と正確に一致する。

ABSTRACT

Following the ideas developed by Komargodski and Schwimmer in arXiv:1107.3987 and arXiv:1112.4538, we argue that the IR dilaton effective action on the cone computes the entanglement entropy of an even dimensional non-conformal field theory interpolating between a UV and an IR fixed point. We restrict our attention to theories which flow to trivial IR fixed point. We get exact non-perturbative results for the coefficients of the logarithmically divergent term of the entanglement entropy in these field theories in arbitrary even dimensions. The results match precisely with the weak coupling results available in the literature and also with the strong coupling results obtained via holography. We also write the universal terms for field theories which interpolate between a scale invariant but not conformally invariant UV fixed point and a trivial IR fixed point.

研究の動機と目的

• 偶数次元非 conformal場理論におけるエンタングルメントエントロピーの対数発散項について、正確で摂動論的でない表現を導出すること。
• コンマルゴドスキーとシュヴィンガーのトレース異常マッチング条件を、錐幾何におけるダイポン有効作用に適用し、普遍的エンタングルメントエントロピー寄与を計算すること。
• 摂動論的場理論とホログラフィーの結果を、一つの非摂動的枠組みで再現・統合すること。
• 異常マッチング法の適用範囲を conformal場理論に限らず、レノルミゼーション群が中間をとる非 conformal場理論にまで拡張すること。
• IR固定点が自明である場合のエンタングルメントエントロピーにおける普遍的項の構造を明確にし、スケール異常から生じる追加項（例：スケール異常）が現れる条件を特定すること。

提案手法

• エンタングルメントエントロピーを計算するために、角超過 $2\pi(n-1)$ を持つ錐時空におけるダイポン有効作用を用いる。
• UVとIR固定点間のトレース異常マッチング条件を適用し、有効作用を制約し、普遍的項を抽出する。
• 有効作用内のWeyl異常およびEuler密度項から、普遍的対数発散項を抽出する：$\int_{ \text{cone}} d^4x \sqrt{h} \left( \frac{c_{\text{UV}}}{16\pi^2} W^2 - 2a_{\text{UV}} E_4 \right) \ln \frac{\Lambda_g}{\Lambda}$。
• 面積則項 $a_2 \Lambda_g^2 A_\Sigma \ln \frac{\Lambda_g}{\Lambda}$ を特定し、$a_2$ は結合定数に依存しない次元なし定数であることを示す。
• 4次元を超える偶数次元へとこの手法を拡張し、$R^2$ や $\mathcal{G}_4$ などの高次曲率不変量を含む追加の普遍的項を同定する。
• Wess-Zumino整合性条件を用いて、特に4次元においてスケール不変性が共形不変性を意味するため、単位的理論では特定の項（例：$R^2$）を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トレース異常マッチング条件を用いて、非 conformal場理論におけるエンタングルメントエントロピーについて、正確で摂動論的でない結果を導出できるか？
• RQ2 UVでCFTであるが、自明なIR CFTに至る偶数次元場理論におけるエンタングルメントエントロピーの正確な対数発散項の形は何か？
• RQ3 摂動論的場理論およびホログラフィーの結果と、異常マッチングから導かれた非摂動的結果は、どのように比較できるか？
• RQ4 UV固定点がスケール不変であるが共形不変でない場合、エンタングルメントエントロピーに追加の普遍的項が現れるか？
• RQ5 ユニタリティは、特に4次元において、エンタングルメントエントロピーの普遍的項の構造にどのような制約を課えるか？

主な発見

• 本稿は、4次元非 conformal場理論におけるエンタングルメントエントロピーの対数発散部分について、正確な表現を導出する：$S_E \supset -n\frac{\partial}{\partial n}\big|_{n=1} \int_{\text{cone}} d^4x \sqrt{h} \left( \frac{c_{\text{UV}}}{16\pi^2} W^2 - 2a_{\text{UV}} E_4 \right) \ln \frac{\Lambda_g}{\Lambda}$。
• この手法は、相互作用場理論における正しい弱い結合結果を再現し、摂動的および非摂動的領域の整合性を確認する。
• 面積則項 $S_E \supset a_2 \Lambda_g^2 A_\Sigma \ln \frac{\Lambda_g}{\Lambda}$ は幾何学的に決定され、結合定数に依存せず、$a_2$ は理論の構造によって固定される。
• 6次元では、$\Lambda_g^4 \int_{\text{cone}} \sqrt{h} \mathcal{G}_4 \ln \frac{\Lambda_g}{\Lambda}$ に比例する追加の普遍的項が現れる。ここで $\mathcal{G}_4$ はガウス・ボナケ項である。
• スケール不変だが共形不変でないUV固定点を持つ理論では、$n\frac{\partial}{\partial n}\big|_{n=1} e_{\text{UV}} \int_{\text{cone}} \sqrt{h} R^2 \ln \frac{\Lambda_g}{\Lambda}$ に比例する追加項が現れる可能性があるが、4次元のユニタリ理論ではWess-Zumino整合性により除外される。
• この手法は非摂動的であり、非ユニタリ理論に対しても有効である。ユニタリティは導出には必要とされないため、標準的QFTを超えたより広範な適用可能性を示唆している。