[論文レビュー] Transition Semigroups of Banach Space Valued Ornstein-Uhlenbeck Processes

Beniamin Gołdys, Jan van Neerven|ArXiv.org|Jun 30, 2006

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance参考文献 30被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間値オーナイシュテイン・ウーレン過程に関連する遷移半群の主要な性質——強Feller性、スペクトルギャップ、解析性——の明示的条件を確立する。これらの性質は、基礎となる$C_0$-半群$\mathbf{S}$がカミロン＝マーティン空間$H$に制限されたときの挙動と関連づけられ、$\mathbf{S}_H$-解析性が、$L^2(E, \mu_\infty)$における半群の解析性にとって必要かつ十分であることが示されている。$H$が$\mathbf{S}$-不変である場合、強Feller性およびスペクトルギャップ性に対しても同様の特徴づけが可能である。本結果は、散乱項を伴う確率的偏微分方程式に対する既存の基準を一般化・精錬するものである。

ABSTRACT

We investigate the transition semigroup of the solution to a stochastic evolution equation $dX(t) = AX(t)dt +dW_H(t)$, $t\ge 0,$ where $A$ is the generator of a $C_0$-semigroup $S$ on a separable real Banach space $E$ and $W_H$ is cylindrical white noise with values in a real Hilbert space $H$ which is continuously embedded in $E$. Various properties of these semigroups, such as the strong Feller property, the spectral gap property, and analyticity, are characterized in terms of the behaviour of $S$ in $H$. In particular we investigate the interplay between analyticity of the transition semigroup, $S$-invariance of $H$, and analyticity of the restricted semigroup $S_H$.

研究の動機と目的

• バナッハ空間値オーナイシュテイン・ウーレン過程の遷移半群の強Feller性、スペクトルギャップ、解析性を特徴づけること。
• これらの性質の必要十分条件を、カミロン＝マーティン空間$H$上の制限半群$\mathbf{S}_H$の観点から確立すること。
• 半群の性質と$H$の$\mathbf{S}$-不変性および解析性の関係を結びつけることにより、散乱項を伴う確率的偏微分方程式に対する既存基準を拡張すること。
• 一般の分離可能なバナッハ空間$E$（特にヒルベルト空間でない場合を含む）に対して、遷移半群を一元的に分析する枠組みを提供すること。

提案手法

• バナッハ空間$E$上のカーネル$H \subset E$に値をとる円柱形ウィーナー過程$W_H$を用いて定義される遷移半群$\mathbf{P} = \{P(t)\}_{t \geq 0}$を分析する。ここで$P(t)\phi(x) = \mathbb{E}[\phi(S(t)x + \int_0^t S(t-s)\,dW_H(s))]$である。
• バナッハ空間$E$上の$C_0$-半群$\mathbf{S}$、その$H$への制限$\mathbf{S}_H$、および有限時刻における確率測度$\mu_t$に関連する再生核ヒルベルト空間$H_t$の間の相互作用を検討する。
• Liapunov方程式$AX + XA^* = -Q$を用いて$Q$-対称性および$H$の$\mathbf{S}$-不変性を特徴づけ、$A$のスペクトル性質と$H$-不変性の関係を結ぶ。
• 補間理論および正の領域における有界解析性（BIP）性質を用いて、$\mathbf{S}_H$が解析的であるための条件を同定する。
• $H$が$\mathbf{S}$-不変であると仮定した下で、$\mathbf{P}$が$L^2(E, \mu_\infty)$で解析的であることと、$\mathbf{S}_H$が$H$上で解析的であることとは同値であることを確立する。
• $\mathbf{P}$の$C_0$-半群構造を調べる際、$C_b(E)$上の混合位相$\tau_{\text{mixed}}$を用いることで、上確界ノルム位相における強い連続性を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間値オーナイシュテイン・ウーレン過程の遷移半群が強Feller性をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 $L^2(E, \mu_\infty)$におけるオーナイシュテイン・ウーレン半群の生成作用素がスペクトルギャップをもつのはいつか？
• RQ3 遷移半群$\mathbf{P}$の解析性と、カミロン＝マーティン空間$H$上の制限半群$\mathbf{S}_H$の解析性との間の明確な関係は何か？
• RQ4 $\mathbf{S}$-不変性の$H$が遷移半群のスペクトル的および正則性的性質に与える影響は何か？
• RQ5 一般のバナッハ空間において、不変測度$\mu_\infty$の存在および半群の公式$P(t)\phi(x) = \int_E \phi(S(t)x + y)\,d\mu_t(y)$の有効性を保証する条件は何か？

主な発見

• $H$が$\mathbf{S}$-不変であると仮定した下で、オーナイシュテイン・ウーレン半群$\mathbf{P}$が$L^2(E, \mu_\infty)$で解析的であることと、制限半群$\mathbf{S}_H$が$H$上で解析的であることとは同値である。
• $\mathbf{P}$の強Feller性が成り立つのは、$\mathbf{S}_H$が解析的であり、かつ$S(t) \circ i_H$のヒルベルト＝シュミットノルムに関するある種の減衰条件を満たすときである。
• $H$が$\mathbf{S}$-不変であると仮定した下で、$L^2(E, \mu_\infty)$における$\mathbf{P}$の生成作用素のスペクトルギャップ性は、不変測度$\mu_\infty$に関連する再生核ヒルベルト空間$H_\infty$における$A$のスペクトルギャップ性と同値である。
• $E = L^p(\Omega)$（$p \in [2, \infty)$）かつ$H = H_0^\alpha(\Omega)$の場合、$\alpha > \frac{d}{4} - \frac{1}{2}$かつ適切なソボレフ埋め込み条件を満たす限り、半群$\mathbf{P}$は$L^2(E, \mu_\infty)$で解析的である。
• $\int_0^\infty \|A^{-\beta/2} S(t)\|_{\mathscr{L}_2(L^2(\Omega))}^2 dt < \infty$という条件は、仮説(H$\mu_\infty$)を意味し、これは$L^2(E, \mu_\infty)$における$\mathbf{P}$の解析性を十分に保証する。
• $E = L^2(\Omega)$かつ$H = H_0^\beta(\Omega)$（$\beta > \frac{d}{4} - \frac{1}{2}$）の場合、半群$\mathbf{S}_H$は$H$上で解析的かつ収縮的であり、これにより$\mathbf{P}$の解析性が保証される。