[論文レビュー] Trialgebras and families of polytopes

Jean-Louis Loday, Marı́a Ronco|arXiv (Cornell University)|May 6, 2002

Advanced Topics in AlgebraMathematics被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、標準単体とスターシェフ多面体（アソシアヘドロン）のオペラッドの間の Koszul 双対性を確立し、両者とも Koszul オペラッドであることを証明する。また、11 および 7 つの関係を満たす三つの二項演算を持つ三重代数（アソシアティブ・トリアルゲブラおよびデンドリフレム・トリアルゲブラ）を導入し、それらの自由代数が単体とアソシアヘドロンの細分によって生成されることを示す。主な結果は、二つのオペラッドの生成関数が形式的逆関数の関係にあり、スターシェフ多面体の生成関数が単体の生成関数を含む二次方程式の根として表現されることである。

ABSTRACT

We show that the family of standard simplices and the family of Stasheff polytopes are dual to each other in the following sense. The chain modules of the standard simplices, resp. the Stasheff polytopes, assemble to give an operad. We show that these operads are dual of each other in the operadic sense. The main result of this paper is to show that they are both Koszul operads. As a consequence the generating series of the standard simplices and the generating series of the Stasheff polytopes are inverse to each other. The two operads give rise to new types of algebras with 3 generating operations, 11 relations, respectively 7 relations, that we call {\it associative trialgebras} and {\it dendriform trialgebras} respectively. The free dendriform trialgebra, which is based on planar trees, has an interesting Hopf algebra structure, which will be dealt with in another paper. Similarly the family of cubes gives rise to an operad which happens to be self-dual for Koszul duality.

研究の動機と目的

• 標準単体のオペラッドとスターシェフ多面体のオペラッドの間の Koszul 双対性を確立すること。
• 三つの二項演算を備えた代数としてのアソシアティブ・トリアルゲブラおよびデンドリフレム・トリアルゲブラを定義し、それらの性質を調査すること。
• これらのトリアルゲブラに付随するオペラッドが Koszul であること、したがってそれらに付随する多面体族の生成関数が形式的逆関数の関係にあることを証明すること。
• 立方体型トリアルゲブラに枠組みを拡張し、関連するオペラッドが自己双対的であり、かつ Koszul であることを示すこと。

提案手法

• 一つの生成子上の自由アソシアティブ・トリアルゲブラを、標準単体のチェーン複体として構成し、面写像および退化写像によって演算を定義する。
• 三つの演算（≺, ≻, ·）を備えたデンドリフレム・トリアルゲブラを定義し、7 つの関係を満たすことを示し、その自由代数が平面木の代数と同型であることを示す。
• 単体とアソシアヘドロンのオペラッドの双対性を用いて、関連する Koszul 複体が非退化であることを証明し、Koszul 性を示す。
• 自由代数に関連する単体的複体の明示的変形再び（deformation retraction）を構成することで、非退化性を証明する。
• 三つの演算（≺, ·, ≻）を備え、9 つの関係を満たす立方体型トリアルゲブラを導入し、関連するオペラッドが自己双対的であることを示す。
• ハイパーキューブのチェーン複体を用いて、立方体型トリアルゲブラのオペラッドのホモロジーが次数 1 に集中することを示し、Koszul 性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準単体のオペラッドとスターシェフ多面体のオペラッドは、互いに Koszul 双対であるか？
• RQ2 自由デンドリフレム・トリアルゲブラは平面木の代数として実現可能であり、これによりホップ代数構造が生じるか？
• RQ3 単体とアソシアヘドロンのオペラッドの生成関数の関係は何か？また、Koszul 双対性はこの文脈でどのように現れるか？
• RQ4 ハイパーキューブ族に付随する自己双対的オペラッドが存在するか？もしあるならば、その代数的およびホモロジー的性質は何か？
• RQ5 立方体型トリアルゲブラのオペラッドの Koszul 複体が非退化であることを示せるか？また、これによりオペラッドの Koszul 性にどのような含意が生じるか？

主な発見

• 自由デンドリフレム・トリアルゲブラに関連する Koszul 複体の非退化性により、標準単体のオペラッドとスターシェフ多面体のオペラッドが互いに Koszul 双対であることが確立された。
• スターシェフ多面体の生成関数 $ f^{ ilde{\text{K}}}_t(x) $ は、標準単体の生成関数 $ f^{ ilde{\text{Δ}}}_t(x) $ の合成的逆関数であり、$ f^{ ilde{\text{Δ}}}_t(f^{ ilde{\text{K}}}_t(x)) = x $ を満たす。
• スターシェフ多面体の生成関数は明示的に $ f^{ ilde{\text{K}}}_t(x) = \frac{-(1+(2+t)x) + \sqrt{1+2(2+t)x + t^2x^2}}{2(1+t)x} $ と与えられ、アソシアヘドロンの Poincaré 多項式から導出された。
• 一つの生成子上の自由アソシアティブ・トリアルゲブラは、標準単体の細分によって線形的に生成され、チェーン複体は $ \Delta^{n-1} $ の正規化チェーン複体と同型であり、非退化である。
• 立方体型トリアルゲブラのオペラッドは自己双対的であり、その生成関数 $ f^I_t(x) = \frac{-x}{1 + (2+t)x} $ は自身の合成的逆関数であるため、Koszul 性が確認された。
• ベクトル空間 $ V $ 上の自由立方体型トリアルゲブラのホモロジーは $ H_n = V $（$ n=1 $ のとき）、それ以外の場合は 0 であり、これにより関連するチェーン複体の非退化性を示し、立方体型オペラッドの Koszul 性が証明された。