[論文レビュー] tt* Geometry and a Twistorial Extension of Topological Strings

Cumrun Vafa|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$tt^{*}$幾何、トポロジカル弦理論、およびGaiotto-Moore-Neitzke（GMN）のハイパーカレル幾何を統合することで、トポロジカル弦理論のツイスター拡張を提案する。ツイスター空間における振幅が、北極におけるトポロジカル弦理論と南極における反トポロジカル弦理論の間を補間することを示し、赤道における物理的領域ではユニタリティが保存されることを示す。主な結果は、GMNライン演算子の振幅が、ツイスター的トポロジカル弦理論の分配関数に対する差分方程式を生成することであり、これは標準的なトポロジカル弦理論におけるモノドロミー関係を拡張するものである。

ABSTRACT

We extend the recent study of 3d tt* geometry to 5d (4d) N=1 (N=2) supersymmetric theories. We show how the amplitudes of tt* geometry lead to an extension of topological strings and Nekrasov partition functions to twistor space, where the north/south poles of the twistor sphere lead to topological/anti-topological string amplitudes. However, the equator of the twistor sphere is the physical region for the amplitudes, where the unitarity of physical amplitudes is respected. We propose that the amplitudes for line operators studied by Gaiotto, Moore and Neitzke lead to difference equations for the twistorial topological string partition function, extending the familiar one for the monodromy of Branes in the context of the standard topological strings. This setup unifies tt* geometry, topological strings and the hyperKahler geometry formulated by GMN into a single framework.

研究の動機と目的

• 2次元から5次元（4次元）${\cal N}=1$（${\cal N}=2$）超対称理論への$tt^{*}$幾何の拡張。
• ツイスター的枠組みに統合された$tt^{*}$幾何、トポロジカル弦理論、およびGaiotto-Moore-Neitzke（GMN）のハイパーカレルフレームワークの統合。
• ツイスター球の北極がトポロジカル弦振幅、南極が反トポロジカル弦振幅に対応することを示し、赤道がユニタリティを保つ物理的振幅を捉えること。
• Nekrasov分配関数のツイスター的一般化を導出し、$tt^{*}$振幅の極限によってホロモーフィックブロックと関係づけること。
• GMNライン演算子の振幅が、ツイスター的トポロジカル弦理論の分配関数に対する差分方程式を生成することを確立し、標準的なモノドロミー関係を一般化すること。

提案手法

• ツイスター球のパrameter $\zeta$ を用いて、トポロジカル弦理論と反トポロジカル弦理論の間を補間する振幅の族を定義する。
• 3次元および5次元における$tt^{*}$幾何フレームワークを適用し、$\zeta \to 0$ の極限でAモデル（開弦）およびBモデル（閉弦）トポロジカル弦振幅に還元されるホロモーフィックブロックを導出する。
• Dブレーン振幅が平坦な$tt^{*}$接続のセクションに対応するツイスター空間における波動関数として、ツイスター的トポロジカル弦理論の分配関数を構成する。
• $tt^{*}$幾何と共形点における正則/反正則因子分解を用いて、ツイスター的分配関数の再帰的関係を導出する。
• GMNライン演算子期待値が、標準的なトポロジカル弦理論におけるモノドロミー作用に類似した、ツイスター的分配関数に対する差分方程式を生成することを特定する。
• 行列モデルとトポロジカル弦理論の大型$N$双対性を用いて、行列モデルのツイスター的バージョンを構築し、2次元${\cal N}=2$理論のセミダムポテンシャルと関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元および5次元超対称理論における$tt^{*}$幾何を、トポロジカル弦振幅と反トポロジカル弦振幅を統合するツイスター構造へどのように拡張できるか。
• RQ2 ツイスターパrameter $\zeta$ が、トポロジカル振幅、反トポロジカル振幅、および物理的（ユニタリ）振幅の間を補間する役割を果たす仕組みは何か。
• RQ3 4次元${\cal N}=2$理論におけるGMNライン演算子振幅は、ツイスター的トポロジカル弦理論の分配関数とどのように関係するか。
• RQ4 標準的なトポロジカル弦理論におけるモノドロミー関係は、ツイスター的枠組みにおいて差分方程式構造へどのように一般化できるか。
• RQ5 ツイスター球の赤道におけるツイスター的トポロジカル弦理論の物理的解釈は何か。ユニタリティはどのように保存されるか。

主な発見

• $\zeta \to 0$ の極限において、3次元および5次元理論における$tt^{*}$振幅は、それぞれ開弦Aモデルおよび閉弦Bモデルのトポロジカル弦振幅に還元される。
• 有限な$\zeta$における$tt^{*}$振幅は、ホロモーフィックブロックよりもより基本的であり、後者は前者を再構成できない。
• 北極（$\zeta \to 0$）はトポロジカル弦振幅に対応し、南極（$\zeta \to \infty$）は反トポロジカル弦振幅に対応する。
• ツイスター球の赤道は、振幅のユニタリティが保存される物理的領域に対応する。
• GMNライン演算子振幅は、ツイスター的トポロジカル弦理論の分配関数に対する差分方程式を生成し、標準的なトポロジカル弦理論におけるブレーンのモノドロミー作用を一般化する。
• ツイスター的トポロジカル弦理論の分配関数は、スーパーポテンシャル構造を持つ経路積分によって定義され、非摂動的項を除いて再帰関係が固定される。BPSブラックホールに対するOSV予想との潜在的関係が示唆される。