[論文レビュー] Type Arithmetics: Computation based on the theory of types

Oleg Kiselyov|ArXiv.org|Apr 3, 2001

Logic, programming, and type systems被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、型理論に基づく型システムを紹介し、負の数を含むペアノ算術を拡張することで、加算、減算、除算といった算術演算を型還元規則を通じて実装する。主な貢献は、除算 by zero が型エラーとして静的に検出され、コンパイラによる強制によって実行時エラーを防げることである。

ABSTRACT

The present paper shows meta-programming turn programming, which is rich enough to express arbitrary arithmetic computations. We demonstrate a type system that implements Peano arithmetics, slightly generalized to negative numbers. Certain types in this system denote numerals. Arithmetic operations on such types-numerals - addition, subtraction, and even division - are expressed as type reduction rules executed by a compiler. A remarkable trait is that division by zero becomes a type error - and reported as such by a compiler.

研究の動機と目的

• 型レベルプログラミングを用いて任意の算術計算を表現できる型システムの開発を目的とする。
• ペアノ算術を型理論的枠組み内で負の数を含むように拡張することを目的とする。
• 加算、減算、除算といった算術演算をコンパイラ内で型還元規則として実装することを目的とする。
• 除算 by zero がコンパイル時に型エラーとして検出され、実行時エラーを防ぐことを目的とする。
• 型レベル計算が除算の安全性といった正しさの性質を強制できることを示すこと。

提案手法

• 型レベルでの数値表現を用い、型が負の数を含む整数を表す。
• 算術演算は型レベル関数または型レベル還元規則として符号化され、型を変換する。
• 加算と減算は、型レベル数値に対する再帰的型レベル操作として定義される。
• 除算は、ゼロ除算のチェックを組み込んだ型レベル演算として実装され、除算 by zero が試みられた場合には型エラーとなる。
• 型システムはコンパイラに統合され、これらの還元が強制され、無効な操作が行われた場合には型エラーが報告される。
• 型理論を活用して算術計算を型システムに直接埋め込み、型チェックによる正しさの保証を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型理論に基づく型システムは、負の数を含む任意の算術計算を表現できるか？
• RQ2 加算、減算、除算といった算術演算を型レベル還元規則としてどのように符号化できるか？
• RQ3 型レベル制約を用いて除算 by zero を静的に検出し、防止できるか？
• RQ4 コンパイラは型レベル計算を通じて算術の正しさをどのように強制するか？
• RQ5 型レベル算術は、除算 by zero の防止といった安全特性をどの程度強制できるか？

主な発見

• 型システムは、型レベル数値を用いて負の数を含むペアノ算術を成功裏に実装した。
• 加算、減算、除算といった算術演算が、コンパイラによって実行される型還元規則として符号化された。
• 除算 by zero は型エラーとして検出され、コンパイラによって報告され、無効な計算が防止された。
• 型レベルプログラミングがコンパイル時に算術の安全性の性質を強制できることを示した。
• 複雑な算術計算が型システムに埋め込まれ、型チェックによって正しさが保証されることを実装で証明した。
• 型算術が、組み込みの正しさ保証を持つ計算の基盤として機能できることを示した。