[論文レビュー] Types and operations

Stanisław Ambroszkiewicz|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Logic, programming, and type systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、自然数をパラメータとする汎用的で有限構造的な方法を導入することで、型、演算（関数）、関係の基礎的概念を再考する。この方法により、有効に構築可能な実体の宇宙を帰納的に構築する。主な貢献は、理論自体ではなく、形式的理論を基礎付ける形式的枠組みを提供することであり、数学的および計算的推論の構成的基盤を提供する。

ABSTRACT

A revision of the basic concepts of type, function (called here operation), and relation is proposed. A simple generic method is presented for constructing operations and types as concrete finite structures parameterized by natural numbers. The method gives rise to build inductively so called Universe intended to contain all what can be {\em effectively constructed} at least in the sense assumed in the paper. It is argued that the Universe is not yet another formal theory but may be considered as a grounding for some formal theories.

研究の動機と目的

• 型、関数（演算）、関係の核心的概念を、より基礎的で構成的な方法で再定式化すること。
• 型と演算を有限構造として、体系的かつ帰納的に生成するための方法の必要性に対処すること。
• 与えられた構成的解釈下で、有効に構築可能なすべての実体を含む宇宙を定義すること。
• 形式的理論自体ではなく、形式的理論の基礎をなす枠組みを提供すること。
• 基本的でパラメータ化された構成要素から、複雑な数学的および計算的構造を構築可能にする。

提案手法

• 汎用的メソッドにより、自然数をパラメータとする型と演算を有限構造として構築する。
• 帰納的生成を用いて、単純な構造からより複雑な構造を段階的に構築する。
• 演算（関数）は、これらの有限的かつパラメータ化された構造間の写像として定義される。
• 型は、指定された演算および関係に関して閉じた有限系として形式化される。
• 宇宙は、基本的構成要素から有効な構築規則を閉じることで帰納的に構築される。
• このフレームワークは、理論としての完全な形式化を避けるが、その代わりに、このような理論の構成的基盤を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型と演算は、基本的構成要素からどのように体系的かつ有限的・有効な構造として構築可能か？
• RQ2 自然数のパラメータは、型と演算の定義および生成において果たす役割は何か？
• RQ3 事前に存在する形式的理論を仮定せずに、有効に構築可能な実体の宇宙を帰納的に定義する方法は何か？
• RQ4 構築された宇宙は、形式的理論自体ではなく、どのように形式的理論の基盤として機能するか？
• RQ5 このような構成的宇宙が、形式的数学的推論の発展を支えるために必要な最小限の条件は何か？

主な発見

• 提示された方法は、自然数のパラメータを用いて、型と演算を具体的かつ有限の構造として成功裏に構築した。
• 帰納的構築により、有効な構築に対して閉じた宇宙が得られ、仮定された意味でのすべての構築可能な実体を捉えることができた。
• 宇宙は形式的理論ではないが、形式的理論の構成的基盤を提供する枠組みである。
• パラメータ化された有限構造を通じて、型と演算を一様に扱えるようになった。
• 事前に有効な宇宙を提供するため、このフレームワークは形式的理論の発展を支援する。
• 理論を有効な構築に基づくものとして定義することで、数学および計算の基礎に関する新たな視点を提供した。