[論文レビュー] Uniform formalism for description of dynamic quantum and stochastic systems

Yuri A. Rylov|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2006

Quantum Mechanics and Applications参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非リーマン的で多価な時空において、粒子の統計的集合を基本対象として用いることで、量子原理を排除し、粒子運動を幾何学化することにより、決定論的・確率的・量子系を統一的に記述する動的形式主義を提案する。このアプローチは、EulerおよびLagrangeの動的変数、一般化された流れ関数、波動関数の4つの同等な定式化を用い、確率的公理を必要とせず、相対論的対生成や消失を含む、量子的挙動の古典的記述を可能にする。

ABSTRACT

The formalism of the particle dynamics in the space-time, where motion of free particles is primordially stochastic, is considered. The conventional dynamic formalism, obtained for the space-time, where the motion of free particles is primordially deterministic, seems to be unsuitable. The statistical ensemble of stochastic (or deterministic) systems is considered to be the main object of dynamics. At such a logical reloading the statistical description becomes a component of dynamics, and capacities of dynamics increase. At such an approach one can describe deterministic, stochastic and quantum particles by means of the uniform technique. The quantum particle is described as a stochastic particle, i.e. without a reference to the quantum principles. Besides, by means of this technique one can describe classical inviscid fluid. There are four different versions of the formalism: (1) description in Euler dynamic variables, (2) description in Lagrange dynamic variables, (3) description in terms of the generalized stream function, (4) description in terms of the wave function. The uniform formalism is purely dynamic. Even describing stochastic systems, it does not refer to probability and probabilistic structures. In relativistic case the uniform formalism can describe pair production and pair annihilation.

研究の動機と目的

• 決定論的・確率的・量子系を、単一の動的形式主義内で統一的に記述すること。
• 時空幾何学と統計的集合に基づく古典的動的枠組みによって、量子原理を置き換えること。
• 統計的記述を動力学の本質的側面として定着させることで、確率的解釈の必要性を排除すること。
• 相対論的現象（例えば対生成や消失）を、古典的動的枠組み内で記述可能にすること。
• 量子的挙動が、非退化した多価な時空幾何学における確率的粒子運動から生じることを示すこと。

提案手法

• 単一粒子の力学を置き換え、粒子の統計的集合を基本的な動的対象として扱う。
• T-幾何学（世界関数形式主義）を用いて、自由粒子運動が本質的に確率的である非リーマン的時空を定義する。
• EulerおよびLagrangeの動的変数、一般化された流れ関数、波動関数の4つの同等な定式化を構築する。
• 形式主義が確率的または確率的構造に明示的に依存しないようにする。
• 動力学方程式が非回転流れではシュレーディンガー型方程式に簡約され、回転流れでは非線形項が現れるように導出する。
• 相対論的系に形式主義を適用し、対生成や消失が動力学的に自然に導かれるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子原理を一切用いずに、古典的力学と時空幾何学のみを用いて、量子系を記述できるか？
• RQ2 決定論的・確率的・量子系を、単一の動的形式主義で統一できるか？
• RQ3 統計的集合が、粒子力学の基礎を再定義する上で果たす役割は何か？
• RQ4 時空幾何学における多価性（本質的確率性）が、量子的挙動をどのように生じさせるか？
• RQ5 対生成のような相対論的現象が、この形式主義を用いた古典的動的枠組みから導けるか？

主な発見

• 粒子の統計的集合が連続的な動的系であることが示され、統計的記述が動力学の本質的側面となった。
• 量子粒子は、量子原理を用いずに、非退化した時空幾何学における確率的粒子として、古典的力学のみを用いて記述可能である。
• 波動関数形式主義と一般化された流れ関数形式主義は、動力学方程式の解が各形式で一貫している場合に限り同等である。
• 非回転流れでは、動力学方程式が線形シュレーディンガー型方程式に簡約されるが、回転流れでは非線形項が現れ、線形性が破れる。
• この形式主義により、相対論的領域における対生成や消失の記述が可能であり、これは標準的量子力学には自然に含まれない特徴である。
• 粒子質量の幾何学的化と、確率的運動を時空の基本的性質とするという点で、本アプローチは量子力学の古典的代替を提供する。