[論文レビュー] Uniform Positivity and Continuity of Lyapunov Exponents for a Class of $C^2$ Quasiperiodic Schrödinger Cocycles

Yiqian Wang, Zhenghe Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ディオファントス周波数と非退化する極値をもつ$C^2$準周期的シュレーディンガーコサイクルに対して、リャプノフ指数の一様な正の性質および弱ホルダー連続性を確立する。漸近的安定・不安定方向に基づく力学系的アプローチを用いて、大きな結合定数においてリャプノフ指数がエネルギーに関して一様に正であり、連続的であることを証明する。これにより、密度の統合密度関数およびより広範な$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$コサイクルへの応用が得られる。

ABSTRACT

We show that for a class of $C^2$ quasiperiodic potentials and for any Diophantine frequency, the Lyapunov exponents of the corresponding Schrödinger cocycles are uniformly positive and weak Hölder continuous as function of energies. As a corollary, we also obtain that the corresponding integrated density of states (IDS) is weak Hölder continous. Our approach is of purely dynamical systems, which depends on a detailed analysis of asymptotic stable and unstable directions. We also apply it to more general $\mathrm{SL}(2,\mathbb R)$ cocycles, which in turn can be applied to get uniform positivity and continuity of Lyapuonv exponents around unique nondegenerate extremal points of any smooth potential, and to a certain class of $C^2$ Szeg\H o cocycles.

研究の動機と目的

• $C^2$準周期的シュレーディンガーコサイクルに対して、ディオファントス周波数およびポテンシャルにおける非退化する極値をもつ場合のリャプノフ指数の一様な正の性質を確立すること。
• 大きな結合定数において、エネルギーに関するリャプノフ指数の弱ホルダー連続性を証明すること。
• 結果をシュレーディンガー型を超えるより一般的な$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$コサイクルへと拡張し、$C^2$ゼゴ・コサイクルに応用すること。
• トゥーレッスの公式を用いて、統合密度関数（IDS）の連続性を確立すること。

提案手法

• コサイクルの漸近的安定・不安定方向を分析し、転送行列の成長を制御する。
• スペクトル理論やKAM型の手法を避ける、完全に力学系的アプローチを用いる。
• 部分加法的エルゴード定理を適用して、行列ノルムを用いてリャプノフ指数を定義・分析する。
• ダイオファントス周波数条件に依存して、力学系における一様性と正則性を保証する。
• $\mathrm{SU}(1,1)$コサイクルをメビウス共役を用いて$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$に変換し、主結果を適用する。
• ポテンシャルを解析に適した形に変換することにより、$C^2$ゼゴ・コサイクルに結果を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $C^2$準周期的シュレーディンガー・コサイクルがディオファントス周波数および非退化する極値をもつ場合、リャプノフ指数が正の定数で一様に下から抑えられるか。
• RQ2 大きな結合定数において、エネルギーに関するリャプノフ指数は連続的か。もしそうなら、その連続性のモジュラスはどのような形か。
• RQ3 シュレーディンガー型を超えるより一般的な$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$コサイクルに対しても、リャプノフ指数に関する結果を拡張できるか。
• RQ4 トゥーレッスの公式に従い、統合密度関数（IDS）はリャプノフ指数の連続性の性質を引き継ぐか。
• RQ5 この手法を用いて、一様に正のリャプノフ指数をもつ滑らかなコサイクルの例を構成できるか。

主な発見

• 任意の$\varepsilon > 0$に対して、$\lambda_0 > 0$が存在し、すべての$E \in \mathbb{R}$および$\lambda \geq \lambda_0$に対して$L(E,\lambda) > (1 - \varepsilon)\log \lambda$が成り立つ。これにより、リャプノフ指数の一様な正の性質が確立される。
• 固定された$\lambda > \lambda_1$に対して、エネルギーに関するリャプノフ指数$L(E)$は弱ホルダー連続であり、$0 < \sigma < 1$に対して$Ce^{-c(\log|E - E'|^{-1})^\sigma}$の形のモジュラスを持つ。これは強い連続性を示唆する。
• 統合密度関数（IDS）も、トゥーレッスの公式およびリャプノフ指数の連続性の結果として、弱ホルダー連続である。
• ポテンシャルにおける一意的な非退化する極値点をもつ$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$コサイクルに対しても結果が拡張可能であり、シュレーディンガー型を超える一般化がなされる。
• 一様に正のリャプノフ指数をもつ新しい$C^2$ゼゴ・コサイクルのクラスが構成され、これにより同種の最初の滑らかな例が得られる。
• ディオファントス周波数および大きな結合定数をもつシュレーディンガー作用素のスペクトルが、周期的近似のスペクトルのlimsupおよびliminfの意味で極限に達することを示す。