[論文レビュー] Universal Indestructibility

Arthur W. Apter, Joel David Hamkins|ArXiv.org|Aug 3, 1998

Advanced Topology and Set TheoryMathematics参考文献 4被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、高ジャンプ基数の存在を仮定すると、すべての超コンパクト基数および部分的に超コンパクトな基数が <κ-有向閉じた強制法の下で完全に不変であるような集合論的宇宙のモデルを確立する。この構成は、ラーヴァーの準備法に内在するギャップを回避する修正された強制反復を用いることで、従来の手法の制限を乗り越え、かつて不可能であった普遍的不変性を達成する。

ABSTRACT

From a suitable large cardinal hypothesis, we provide a model with a supercompact cardinal in which universal indestructibility holds: every supercompact and partially supercompact cardinal kappa is fully indestructible by kappa-directed closed forcing. Such a state of affairs is impossible with two supercompact cardinals or even with a cardinal which is supercompact beyond a measurable cardinal.

研究の動機と目的

• ラーヴァーの準備法が部分的に超コンパクトな基数の不変性を保証できないという制限を克服すること。
• すべての超コンパクトおよび部分的に超コンパクトな基数が <κ-有向閉じた強制法の下で完全に不変であるようなモデルを構成すること。
• 普遍的不変性が高ジャンプ基数の仮定の下で妥当であることを示すこと。高ジャンプ基数は、超コンパクトとほとんど巨大の間の整合性の強度を有する大基数の概念である。
• 標準的なラーヴァーの準備法が、ギャップ構造のおかげで非超コンパクトな超コンパクト性の保存を制限するため、普遍的不変性を達成できないことを示すこと。
• 測定可能基数以下のギャップを回避する新しい強制反復戦略を提供することにより、後続の段階で不変性が保たれることを保証すること。

提案手法

• 逆東京反復が用いられ、各段階 γ において、V_γ で定義可能である <γ-有向閉じたポセットのみを選択するラーヴァー関数に基づく強制法が適用される。
• 反復は、いかなる測定可能基数 γ に対しても、その下にギャップを許さないよう設計されており、ギャップ強制定理の適用を防ぐ。
• 強制後、任意の測定可能基数 γ が不変であるための必要十分条件は、元のモデルで超コンパクトであったことである。これにより、すべての超コンパクト基数の不変性が保たれる。
• もし基数 γ が元のモデルで超コンパクトでなければ、その超コンパクト性が反復を通じて保存されないことを示すための「試練の証明」が用いられる。
• 任意の <θ 列に対して閉じた M における初等埋め込み j: V → M を用いた持ち上げ証明により、ℚ が λ-超コンパクト性を破壊するならば、持ち上げられたモデルで矛盾が生じることを示す。
• j(g) の下にマスターコンディションを構成することで、埋め込みを強制拡張を通して持ち上げられ、測定値が後続段階で追加されないことが示され、したがって ℚ が超コンパクト性を破壊するという仮定に矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超コンパクト基数に対する普遍的不変性が、部分的に超コンパクトな基数ですら <κ-有向閉じた強制法の下で完全に不変であるようなモデルで達成可能か？
• RQ2 ラーヴァーの準備法が非超コンパクトな部分的に超コンパクトな基数の不変性を保証できないという点を踏まえ、それらに依存せずにこのようなモデルを構成することは可能か？
• RQ3 どの大基数仮定が、すべての超コンパクトおよび部分的に超コンパクトな基数に対する普遍的不変性を保証するのに十分か？
• RQ4 ギャップ強制定理を回避できる強制反復を設計することで、非超コンパクトな基数の不変性を保てるか？
• RQ5 普遍的不変性は単一の超コンパクト基数と整合的か、それとも複数の超コンパクト基数やより強い仮定を必要とするか？

主な発見

• すべての超コンパクトおよび部分的に超コンパクトな基数が <κ-有向閉じた強制法の下で完全に不変であるという普遍的不変性は、単一の超コンパクト基数を持つモデルで達成可能である。
• 高ジャンプ基数の存在が、このようなモデルを構成するのに十分であり、普遍的不変性がこの大基数仮定の下で整合的であることを示している。
• ラーヴァーの準備法は、測定可能基数以下のギャップを許すため、普遍的不変性を達成できない。ギャップ強制定理により、超コンパクト性の度数の上昇が妨げられる。
• 測定可能基数 γ の下にギャップを許す任意の強制法は、γ の超コンパクト性度数、強コンパクト性度数、強さの度数を向上させることができず、このようなモデルでは普遍的不変性の可能性が制限される。
• 本論文は、測定可能基数以下のギャップを回避する新しい強制反復を構成し、すべての超コンパクト性の性質が反復全体を通じて保たれることを保証している。
• 仮定した強制法が λ-超コンパクト性を破壊する場合、持ち上げられた埋め込みにより測定値が以前に存在していたことが示され、それにより仮定に矛盾が生じる。