[論文レビュー] Universal Simulation of Hamiltonians Using a Finite Set of Control Operations

Paweł Wocjan, Martin Roetteler+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、制御操作の群がトレースレス演算子の空間に完全に不変作用する場合、任意の量子ハミルトニアンを有限のユニタリ制御操作の集合を用いて普遍的にシミュレートできることを示している。主な貢献は、アドジョイント表現の不変性に基づく群論的基準であり、平均ハミルトニアン技法を用いて任意のハミルトニアンの普遍的シミュレーションを可能にするものである。

ABSTRACT

Any quantum system with a non-trivial Hamiltonian is able to simulate any other Hamiltonian evolution provided that a sufficiently large group of unitary control operations is available. We show that there exist finite groups with this property and present a sufficient condition in terms of group characters. We give examples of such groups in dimension 2 and 3. Furthermore, we show that it is possible to simulate an arbitrary bipartite interaction by a given one using such groups acting locally on the subsystems.

研究の動機と目的

• 有限のユニタリ制御操作の集合が、任意の量子ハミルトニアンの普遍的シミュレーションを可能にする条件を確立すること。
• 真のハミルトニアンが未知である状況で、ハミルトニアン上の任意の線形写像をシミュレートする問題を解決すること。
• qubitおよびqutrit系において、普遍的シミュレーションに適した有限変換群が存在することを示すこと。
• 双粒子系へとフレームワークを拡張し、局所的制御操作と固定された非自明な相互作用を用いて任意の相互作用をシミュレート可能であることを示すこと。
• 表現論と群の特徴指標を用いて、このような制御群の群論的特徴付けを提供すること。

提案手法

• 自然な時間発展 $ \exp(-iHt) $ と高速なユニタリ制御 $ V_i $ を交互に適用することで、有効ハミルトニアン $ \bar{H} = \sum_i \tau_i U_i^ op H U_i $ を生成する形で、普遍的シミュレーションを形式化する。
• トレースレス演算子上でのアドジョイント作用が不変である有限ユニタリ群「変換群（transformer group）」の概念を導入する。
• 群表現の特徴指標を用いて、有限群が普遍的変換群であるための十分条件を導出する。
• 既知の SU(d) の有限部分群を用いて、次元 2 および 3 におけるこのような群の明示的構成を行う。
• 局所的変換群が各部分系に存在する場合、非自明な局所的および結合項を有する任意の双粒子ハミルトニアンが、他の任意のハミルトニアンをシミュレートできることを証明する。
• 平均ハミルトニアン法を用いて、ハミルトニアン上の任意の線形写像 $ L(H) $（逆写像や分離化を含む）のシミュレーションを実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような有限ユニタリ制御操作の集合が、任意のハミルトニアンの発展を普遍的にシミュレート可能か？
• RQ2 どのような群論的条件下で、有限ユニタリ群がハミルトニアン上の任意の線形写像をシミュレート可能か？
• RQ3 任意の双粒子相互作用は、局所的制御操作のみを用いて他の任意の相互作用をシミュレート可能か？
• RQ4 任意のハミルトニアンをシミュレートする、または未知のハミルトニアンを逆転させるために必要な最小の複雑度（操作数）は何か？
• RQ5 平均ハミルトニアン形式主義を、ハミルトニアンの任意の線形変換をシミュレート可能にするようにどのように拡張できるか？

主な発見

• 有限群 $ G $ が任意のハミルトニアンのシミュレーションを普遍的に行えるための必要十分条件は、トレースレス演算子の空間へのアドジョイント作用が不変であることである。
• このような群の存在は、群の特徴指標に関する条件によって特徴付けられる：アドジョイント表現の特徴指標が不変であること。
• 次元 2 および 3 において、明示的な有限変換群が存在し、これらの状況での普遍的シミュレーションが可能である。
• d次元系では、未知のハミルトニアンを遮断するには少なくとも $ d^2 $ 個の操作が必要であり、分離化の最小複雑度も $ d^2 $ であり、これは良い誤り基底によって達成される。
• 未知のハミルトニアンの時間反転には、少なくとも $ d-1 $ 個の操作が必要で、最大で $ d^2 - 1 $ 個まで必要であり、一般のシミュレーションの複雑度下限は $ d^2 - 1 $ である。
• 双粒子系では、局所的および結合項が非自明な任意の相互作用 $ H $ は、各部分系に局所的変換群が存在する限り、他の任意のハミルトニアン $ \tilde{H} $ をシミュレート可能である。