[論文レビュー] Complexity classification of local Hamiltonian problems

Toby S. Cubitt, Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 54被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、2局所量子スピンハミルトニアン問題の完全な複雑度分類を提供し、固定された相互作用項の集合に対して、問題がPに属するか、NP完全か、横磁場イジング模型に同等か、QMA完全かのいずれかであることを示している。主な貢献は、シュレーファーの二分法定理の量子版を確立し、すべてのこのような問題に対して正確な三択分類（1つのクラスがイジング模型に同等）を提示したことである。これには、1局所項を含まないヘイゼンベルグ模型やXY模型について、QMA完全性の初の証明が含まれる。

ABSTRACT

The calculation of ground-state energies of physical systems can be formalised as the k-local Hamiltonian problem, which is the natural quantum analogue of classical constraint satisfaction problems. One way of making the problem more physically meaningful is to restrict the Hamiltonian in question by picking its terms from a fixed set S. Examples of such special cases are the Heisenberg and Ising models from condensed-matter physics. In this work we characterise the complexity of this problem for all 2-local qubit Hamiltonians. Depending on the subset S, the problem falls into one of the following categories: in P; NP-complete; polynomial-time equivalent to the Ising model with transverse magnetic fields; or QMA-complete. The third of these classes has been shown to be StoqMA-complete by Bravyi and Hastings. The characterisation holds even if S does not contain any 1-local terms; for example, we prove for the first time QMA-completeness of the Heisenberg and XY interactions in this setting. If S is assumed to contain all 1-local terms, which is the setting considered by previous work, we have a characterisation that goes beyond 2-local interactions: for any constant k, all k-local qubit Hamiltonians whose terms are picked from a fixed set S correspond to problems either in P; polynomial-time equivalent to the Ising model with transverse magnetic fields; or QMA-complete. These results are a quantum analogue of Schaefer's dichotomy theorem for boolean constraint satisfaction problems.

研究の動機と目的

• 固定された集合Sから選ばれる相互作用をもつ2局所キュービットハミルトニアン問題の計算複雑度を分類すること。
• このような問題が効率的に解ける（Pに属する）、NP完全、横磁場イジング模型に同等、またはQMA完全であるかどうかを特定すること。
• 先行研究を拡張し、1局所項が存在しない状況下でも物理的に重要なモデル（ヘイゼンベルグやXY相互作用）がQMA完全であることを証明すること。
• 固定された相互作用集合をもつk局所ハミルトニアンに対して、二分法に類似した分類を確立し、2局所の範囲を超えて一般化すること。

提案手法

• 著者らは、相互作用項を固定された集合Sに制限し、任意の重みを許容することで、k局所ハミルトニアン問題の複雑度を分析する。
• 対称状態やスピンシンレット射影の使用を含む還元法と代数的技法を用い、基底状態を特徴づける。
• Lieb-Mattis定理と表現論を応用し、完全二部グラフ上のヘイゼンベルグ模型における固有状態の一意性とエネルギーの上限を証明する。
• BravyiとHastingsによるStoqMA完全性に関する既知の結果を活用し、3番目の複雑度クラスを分類する。
• 横磁場イジング模型が特定の中間クラスにおいて完全であることを証明し、Perron-Frobeniusの議論を用いて基底状態の一意性を示す。
• すべての固定されたSをもつk局所ハミルトニアン問題が、P、イジング同等、またはQMA完全のいずれかの複雑度クラスに属することを示すことにより、分類をk局所に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2局所キュービット相互作用の集合Sについて、局所ハミルトニアン問題がP、NP完全、またはQMA完全に属するのはどのような場合か？
• RQ2 1局所項がSに含まれない場合でも、ヘイゼンベルグおよびXY模型がQMA完全であることを証明できるか？
• RQ3 制約充足問題の文脈における局所ハミルトニアンの文脈で、シュレーファーの二分法定理の量子版が存在するか？
• RQ4 横磁場イジング模型の正確な複雑度は何か？他のクラスとどのように関係するか？
• RQ5 2局所にとどまらず、固定された相互作用集合をもつk局所ハミルトニアンへと分類を拡張できるか？

主な発見

• 固定された2局所キュービット相互作用の集合Sに対して、局所ハミルトニアン問題は、P、NP完全、横磁場イジング模型に同等、またはQMA完全のいずれかである。
• 1局所項が存在しない2局所項に制限されたヘイゼンベルグおよびXY相互作用は、QMA完全である。
• 横磁場イジング模型は、特定の中間クラスにおいて完全であり、このクラスはStoqMA完全であることが知られている。
• 固定された集合Sから選ばれるk局所ハミルトニアンについて、問題はP、横磁場イジング模型に同等、またはQMA完全のいずれかである。
• Lieb-Mattis模型（完全二部グラフ上のヘイゼンベルグ模型）の基底状態は一意で、エネルギーは−n(n+2)である。これはスピン対称性とPerron-Frobeniusの議論により証明された。
• 本稿は、固定された相互作用集合をもつすべてのk局所キュービットハミルトニアンについて完全な分類を確立し、2局所を超えた一般化を達成した。