[論文レビュー] Various topologies on trees

Peter Nyikos|ArXiv.org|Dec 31, 2004

Advanced Topology and Set TheoryMathematics参考文献 12被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、木構造上の複数の位相を調査し、特に粗いワッセ位相と細かいワッセ位相、および区間位相に焦点を当てる。粗いワッセ位相は、すべての木に対して超コンパactかつ単調正規な位相をもたらすことが示され、細かいワッセ位相は、すべての木に対して、部分空間がすべて超パラコンパクトかつ単調正規な位相をもたらす。区間位相は、集合論的公理（ZFCを超えるもの）に強く依存しており、正規性や距離化可能性といった性質は、しばしばZFCとは独立であることが明らかになる。

ABSTRACT

This is a survey article on trees, with a modest number of proofs to give a flavor of the way these topologies can be efficiently handled. Trees are defined in set-theorist fashion as partially ordered sets in which the elements below each element are well-ordered. A number of different topologies on trees are treated, some at considerable length. Two sections deal in some depth with the coarse and fine wedge topologies, and the interval topology, respectively. The coarse wedge topology gives a class of supercompact monotone normal topological spaces, and the fine wedge topology puts a monotone normal, hereditarily ultraparacompact topology on every tree. The interval topology gives a large variety of topological properties, some of which depend upon set-theoretic axioms beyond ZFC. Many of the open problems in this area are given in the last section.

研究の動機と目的

• 木構造上のさまざまな位相的構造、特にワッセ位相と区間位相を体系的かつ分析すること。
• 木構造上の異なる位相が誘導する位相的性質（単調正規性、超パラコンパクト性、距離化可能性など）を調査すること。
• ZFCを超える集合論的公理に依存する位相的性質の依存関係を、特にアロンサインツリーおよびスペシャルツリーの文脈で探求すること。
• 異なる集合論的仮定の下で、木構造上の正規性、距離化可能性、およびパラコンパクト性に関する未解決問題を解明すること。
• スペシャルツリーおよびRスペシャルツリーが、正規性や距離化可能性と関連して、位相的挙動を決定づける役割を明確にすること。

提案手法

• 任意の要素の先行集合が整列順序である部分順序集合として木を定義し、基礎的な構造を確立する。
• 粗いワッセ位相を導入し、すべての木に対して超コンパクトかつ単調正規な位相を誘導することを示す。
• 細かいワッセ位相を導入し、すべての木に対して、部分空間がすべて超パラコンパクトかつ単調正規な位相を誘導することを証明する。
• 区間位相を分析し、CH、MA、弱クレパツリーの存在といった集合論的公理に敏感であることが明らかになる。
• プレッシングダウン補題および静的集合・非静的集合の性質を用いて、cwH（完全に弱い遺伝的）木を特徴付ける。
• 強力なコンパクト性を持つランダム実数の集合が存在するモデルを用い、強力なコンパクト性の仮定と組み合わせて、正規性および距離化可能性の整合性結果を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの集合論的仮定のもとで、すべての正規木が単調正規になるのか？
• RQ2 ZFCとは独立して、すべての完全正規木が距離化可能であることは一貫的か？
• RQ3 V = L の下で、可算パラコンパクトだが非正規なアロンサインツリーが存在しうるか？
• RQ4 すべてのRスペシャルで可算パラコンパクトな木は、必然的に集合的に正規であるか？
• RQ5 非スペシャルで可算メタコンパクトな木が非可算分岐を持たない場合、その存在の整合性の強度はどの程度か？

主な発見

• 粗いワッセ位相は、すべての木に超コンパクトかつ単調正規な位相をもたらす。
• 細かいワッセ位相は、すべての木に、部分空間がすべて超パラコンパクトかつ単調正規な位相をもたらす。
• MA + ¬wKH の下で、高さが ω₂ より小さいすべての cwH 木は単調正規である。
• すべてのRスペシャルでcwHで可算パラコンパクトな木は、（集合的に）正規である。これは定理4.39で示されている。
• MA + ¬CH および強力にコンパクトな数多くのランダム実数を持つモデルでは、PMEAが成立し、すべての正規で第一可算な木はcwn（完全に弱い遺伝的）であるため、距離化可能である。
• σ順序付け可能な木の存在は、σ順序付け可能かつcwHであることと同値である。これは定理4.45で確立された。