[論文レビュー] Virtual cycles of gauged Witten equation

Gang Tian, Guangbo Xu|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、固定された滑らかな $r$-スピン曲線上の摂動されたゲージ化ウィッテン方程式のモジュライ空間に仮想サイクルを構成し、向き付け可能な仮想オビールドアトラスを確立し、有理数の仮想基数を定義する。この構成は、同行の論文におけるウォールクロッシング公式と併せて完了され、ゲージ線形 $\sigma$-モデルにおける相関関数の数学的基盤を厳密に確立し、摂動に対する不変性を示し、[TX15, TX16]で提唱されたプログラムを完了する。

ABSTRACT

We construct virtual cycles on moduli spaces of perturbed gauged Witten equation over a fixed smooth r -spin curve, under the framework of [TX15]. Together with the wall-crossing formula proved in the companion paper [TX19], it completes the construction of the correlation function for the gauged linear sigma model announced in [TX16] as well as the proof of its invariance.

研究の動機と目的

• 固定された滑らかな $r$-スピン曲線上の摂動されたゲージ化ウィッテン方程式のモジュライ空間に仮想サイクルを構成すること。
• 強く正則な摂動の下で、モジュライ空間に向き付け可能な仮想オビールドアトラスの存在を確立すること。
• モジュライ空間の有理数の仮想基数を定義し、ゲージ線形 $\sigma$-モデルにおける相関関数の構成を可能にすること。
• 摂動に対する相関関数の不変性を証明することで、ゲージ線形 $\sigma$-モデルの数学的枠組みを完成させること。
• 仮想サイクル技術を用いて、ランダウ＝ジンブルグ／カバリ・ヤウ双対性および幾何学的ミラー対称性の厳密な基盤を提供すること。

提案手法

• リーマン面に $G^\mathbb{C}$-作用とモーメントマップを伴う $G$-バンドル上でのウィッテン方程式とシンプレクティックバーサス方程式を組み合わせたゲージ化ウィッテン方程式系を用いる。
• 超ポテンシャル $W$ に強く正則な摂動 $\underline{P}$ を適用し、摂動関数のすべての臨界値の虚部が互いに異なるように保証する。
• 仮想次元がゼロの良い座標系を用い、仮想的で多価な摂動を構成することで仮想サイクルを定義する。
• 摂動されたゼロ集合の逐次的コンパクト性に基づく仮想的技法を実装し、仮想基数への寄与が有限個であることを保証する。
• 仮想次元が1の場合の位相的横断性と境界解析を用いて、仮想基数が摂動の選択に依存しないことを証明する。
• コンパクト性およびフレドホルム理論に関する [TX15] の結果に依拠し、モジュライ空間が明確に定義された仮想構造を持つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな $r$-スピン曲線上の摂動されたゲージ化ウィッテン方程式の解のモジュライ空間に、どのように仮想サイクルを構成できるか。
• RQ2 どのような摂動の条件下で、モジュライ空間が向き付け可能な仮想オビールドアトラスを備えるか。
• RQ3 モジュライ空間の仮想基数はどのように定義され、なぜ有理数となるのか。
• RQ4 ウォールクロッシング公式は相関関数の不変性を保証するために果たす役割は何か。
• RQ5 仮想基数が摂動および座標系の選択に依存しないことをどのように示せるか。

主な発見

• 滑らかな $r$-スピン曲線 $\mathcal{C}$ 上の摂動されたゲージ化ウィッテン方程式のモジュライ空間 $\mathcal{M}_{\underline{P}}(\mathcal{C},B,\underline{\kappa})$ は、向き付け可能な仮想オビールドアトラスを備える。
• 仮想基数 $\#{\mathcal{M}}_{\underline{P}}(\mathcal{C},B,\underline{\kappa})$ は、与えられた条件下で有理数として明確に定義され、有限かつ選択に依存しない。
• 強い正則性を満たす摂動は、摂動空間内の実解析的超曲面を避けるものであり、横断性と仮想サイクルの存在を保証する。
• 異なる摂動の選択間のホモトピーが $X \times [0,1]$ 上の良い座標系によって存在するため、仮想基数は摂動に対して不変である。
• すべてのチャートが多様体である場合、仮想基数は単一値の横断的摂動によって整数に達する。
• 1次元の向き付け可能な良い座標系の境界の仮想基数はゼロである。これは、仮想基数が摂動の選択に依存しないことを示唆する。