[論文レビュー] Virtual neighborhood technique for pseudo-holomorphic spheres

Bohui Chen, An-Min Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、シンプレクティック多様体における擬全純球面に対して、$PSL(2,\mathbb{C})$-作用の非微分可能性を解消するためのバーチャルネighborhood技法を構築する。スライスおよびチューブ型近傍定理を用いて、$W^{1,p}$-写像上での$PSL(2,\mathbb{C})$-作用の非微分性を克服し、バーチャルオーロフォイド積分を用いて、横断性の仮定を避けたwell-definedな genus zero Gromov-Witten不変量を確立する。そのために、適切なエタール群体と不変パッチングデータを用いた有限次元バーチャル系を構成する。

ABSTRACT

This is the first part of a trilogy where we apply the theory of virtual manifold/orbifolds developed by the first named author and Tian to study the Gromov-Witten moduli spaces. In this paper, we resolve the main analytic issue arising from the lack of differentiability of $PSL(2, \C)$-action on spaces of $W^{1, p}$-maps from the Riemann sphere to a symplectic manifold $(X, ω, J)$ with a non-zero homology class $A$. In particular, we establish the slice and tubular neighbourhood theorems for $PSL(2, \C)$-action along smooth maps, and construct a $PSL(2, \C)$-obstruction bundle along $PSL(2, \C)$-orbit of a pseudo-holomorphic map representing a point in the moduli space $\cM_{0, 0}(X, A)$. In Sections 2 and 3 of this paper, we explain an integration theory on virtual orbifolds using proper étale groupoids and establish the virtual neighborhood technique for a general orbifold Fredholm system. When the moduli space $\cM_{0, 0}(X, A)$ of pseudo-holomorphic spheres in $(X, ω, J)$ is compact, applying the virtual neighborhood technique developed in Section 3, we obtain a virtual system for the moduli space $\cM_{0, 0}(X, A)$ of pseudo-holomorphic spheres in $(X, ω, J)$ and show that the genus zero Gromov-Witten invariant is well-defined.

研究の動機と目的

• リーマン球面からシンプレクティック多様体への$W^{1,p}$-写像上での$PSL(2,\mathbb{C})$-作用の非微分性が引き起こす解析的課題を解消すること。
• バーチャルオーロフォイドおよび適切なエタール群体を用いて、擬全純球面のコンパクトなモジュライ空間のためのバーチャルネighborhoodフレームワークを確立すること。
• 安定化および不変パッチングデータを用いた有限次元バーチャル系を構築することで、横断性の仮定なしにgenus zero Gromov-Witten不変量を定義すること。
• partition of unityおよびThom形式の選択に依存しないバーチャル積分の不変性とwell-defined性を保証すること。

提案手法

• 滑らかな擬全純写像に沿って、$PSL(2,\mathbb{C})$-作用に対するスライスおよびチューブ型近傍定理を構築し、商構造の局所的滑らかさを保証する。
• 適切なエタール群体を用いてモジュライ空間をモデル化し、Fredholm系のグローバル安定化を用いてバーチャルオーロフォイドを定義する。
• 不変局所安定化およびパッチングデータを用いた$G$-可換バーチャルネighborhood技法を実装し、群作用の整合性を保つ。
• partition of unity $\{\eta_I\}$、遷移Thom形式 $\theta_I$、および$\Theta$-twisted形式を用いて、バーチャル積分を定義し、不変量を計算する。
• バーチャルEuler類を積分 $\Phi(\alpha) = \sum_I \int_{{\mathcal{V}}_I} \eta_I \cdot \theta_I \cdot \alpha_I$ を用いて定義し、Gromov-Witten不変量を導出する。
• 古典的指向理論および摂動された$\bar{\partial}_J$-方程式の楕円型正則性を用いて、向きの付与と仮定3.23の検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして$W^{1,p}$-写像上での$PSL(2,\mathbb{C})$-作用の非微分性を克服し、滑らかな商構造を定義できるか？
• RQ2 バーチャルオーロフォイド技法を用いて、擬全純球面のモジュライ空間に対して有限次元バーチャル系を構築できるか？
• RQ3 横断性を仮定しない場合でも、genus zero Gromov-Witten不変量はwell-definedか？
• RQ4 再パrametrization下での対称性を保つために、バーチャルネighborhood構成を$G$-可換にできるか？
• RQ5 partition of unityおよびThom形式の選択に依存しないバーチャル積分の不変性を保証する条件は何か？

主な発見

• 滑らかな写像に対して、$PSL(2,\mathbb{C})$-作用のスライスおよびチューブ型近傍定理が確立され、主な解析的障害が解消された。
• $G$-可換な有限次元バーチャル系 $\{ (\widetilde{\mathcal{V}}_I, \widetilde{E}_I, \widetilde{\sigma}_I) \}$ が構成され、その零点集合が普遍モジュライ空間 $\widetilde{\mathcal{M}}$ を被覆する。
• 有限次元バーチャルオーロフォイド系 $\{ (\mathcal{V}_I, \mathbf{E}_I, \sigma_I) \}$ が得られ、その零点集合がモジュライ空間 $\mathcal{M}$ を被覆し、適切なオーロフォイド構造を保証する。
• バーチャル不変量 $\Phi(\alpha) = \sum_I \int_{{\mathcal{V}}_I} \eta_I \cdot \theta_I \cdot \alpha_I$ はwell-definedであり、選択に依存しない。これはRemark 3.25で証明されている。
• バーチャルネighborhood技法を用いることで、モジュライ空間が横断的でない場合でも、genus zero Gromov-Witten不変量がwell-definedに定義可能である。
• 本手法は$k$-マークド点の場合に拡張可能である：$k \geq 3$ の場合、システムはすでにオーロフォイドFredholm系である。$k \leq 2$ の場合、同型安定化を用いて本技法が適用可能である。