[論文レビュー] Viscosity Solutions for HJB Equations on the Process Space

Jianjun Zhou, Nizar Touzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2024

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、共通ノイズと退化する拡散を伴う平均場制御問題の取り扱いを可能にする、過程空間上における完全非線形で2階の経路に依存するハミルトニアン・ジャコビ・ベルルマン（HJB）方程式の新規な可視解枠組みを導入する。テスト関数に特異的で絶対連続的な成分を組み込むことで、単にリプシッツ連続性の下で存在性と比較原理を確立し、可視解の一意性およびHJB方程式の適切な定義を保証する。

ABSTRACT

In this paper we investigate a path dependent optimal control problem on the process space with both drift and volatility controls, with possibly degenerate volatility. The dynamic value function is characterized by a fully nonlinear second order path dependent HJB equation on the process space, which is by nature infinite dimensional. In particular, our model covers mean field control problems with common noise as a special case. We shall introduce a new notion of viscosity solutions and establish both the existence and the comparison principle, under merely Lipschitz/Holder continuity assumptions. The main feature of our notion is that, besides the standard smooth part, the test function consists of an extra singular component which allows us to handle the second order derivatives of the smooth test functions without invoking the Crandall-Ishii lemma. We shall use the doubling variable arguments, combined with the Ekeland-Borwein-Preiss variational principle in order to overcome the noncompactness of the state space. A smooth gauge-type function on the path space is crucial for our estimates.

研究の動機と目的

• 経路に依存するおよび退化する拡散を伴う確率的制御における完全非線形で2階の経路に依存するHJB方程式に対して、堅牢な可視解理論が欠如しているという問題に取り組む。
• 標準的なHJB理論がカバーしていない、共通ノイズを伴う平均場制御問題への可視解の適用範囲を拡張する。
• 滑らかさやコンパクト性を仮定しない最小限の正則性仮定、具体的にはリプシッツ連続性の下で、比較原理および可視解の一意性を確立する。
• 2階微分の推定における技術的障害を回避するために、特異的で絶対連続的な成分を組み込んだ新しいテスト関数構造を構築する。
• 共通ノイズを伴う平均場制御によって誘導されるウォサースタイン空間上でのHJB方程式の適切な定義を保証する。

提案手法

• Ishiiの補題を回避するために、テスト関数を滑らかな部分と特異的で時間に関して絶対連続的な成分に分解する新しい可視解の概念を提案する。
• 非コンパクトな経路空間の問題を克服するため、二重変数法とEkeland-Borwein-Preissの変分原理を組み合わせる。
• 比較原理の議論における一様有界性を保証するために、経路空間上に滑らかなゲージ型関数を構築する。
• 定数拡散係数の場合の変換に基づくアイデアを応用し、テスト関数における特異的成分の構築を動機づける。
• 特異的成分を調整してHJB方程式内の拡散項を相殺させ、二重変数法における2階微分項の制御を可能にする。
• 状態過程と制御過程の同時分布の依存構造を活用して、経路に依存する設定における推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 退化する拡散を伴う、経路に依存する完全非線形で2階のHJB方程式に対して、可視解理論を過程空間上に構築できるか？
• RQ2 滑らかさやコンパクト性を仮定しないリプシッツ連続性の下で、比較原理をどのように確立できるか？
• RQ3 無限次元HJB方程式における2階微分の取り扱いにおいて、テスト関数に特異的で絶対連続的な成分が果たす役割は何か？
• RQ4 この枠組みは、共通ノイズを伴う平均場制御問題を特別な場合としてカバーできるか？
• RQ5 最小限の正則性仮定の下で、動的価値関数はHJB方程式の唯一の可視解であるか？

主な発見

• 著者らは、文献における既存の条件を著しく弱めたリプシッツ連続性の仮定の下で、HJB方程式に対して比較原理を確立した。
• 経路に依存する最適制御問題の動的価値関数が、HJB方程式の唯一の可視解であることが証明された。
• 滑らかな部分と特異的で絶対連続的な成分からなる新しいテスト関数構造により、Ishiiの補題を回避し、2階微分項を制御できるようになった。
• この枠組みにより、共通ノイズを伴う平均場制御によって誘導されるウォサースタイン空間上でのHJB方程式の適切な定義が保証された。
• Ekeland-Borwein-Preissの変分原理と経路空間上に適切に構築されたゲージ関数を用いることで、状態空間の非コンパクト性を克服した。
• 既存の平均場制御の可視解理論を一般化し、漂移および拡散の両方の制御を含む、可能なかぎり退化する拡散を伴う場合もカバーした。