[論文レビュー] Viscosity Solutions of Path-Dependent PDEs and Non-Markovian Forward-Backward Stochastic Equations

Andrea Cosso|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非退化性仮定を除去することで、非マルコフ型前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）を用いて、半線形パス依存型PDEに対する非線形フェインマン＝カツ表現を確立する。このFBSDEの解が、一般化された粘性解枠組みの下で、対応するパス依存型PDEの粘性解を与えることを証明しており、拡大された確率空間の手法により、一意性および比較定理の結果も得られている。

ABSTRACT

It is known that Markovian forward-backward stochastic differential equations provide nonlinear Feynman-Kac representation formulae for semilinear parabolic PDEs. We show that non-Markovian forward-backward stochastic differential equations provide nonlinear Feynman-Kac formulae for semilinear path-dependent PDEs. This extends the result proved in Ekren, Keller, Touzi, and Zhang [4] to the case with a possibly degenerate diffusion coefficient in the forward dynamics.

研究の動機と目的

• 非マルコフ型FBSDEを用いて、半線形パス依存型PDEへの非線形フェインマン＝カツ表現を拡張すること。
• 先行研究で要請されていた拡散係数の非退化性仮定 σσᵀ > 0 を除去すること。
• FBSDEの解が関連するパス依存型PDEの粘性解を与えることを確立すること。
• 拡大された確率空間の手法を用いて、粘性解のための一意性および比較定理を証明すること。
• 半線形の場合を超えて、完全非線形放物型PPDEへと粘性解枠組みを一般化すること。

提案手法

• パス依存型PDEのための粘性解定義を、Ekren, Touzi, and Zhang (2014) から採用し、古典的な最小・最大条件を非線形期待の下での最適停止に置き換える。
• 関数的イト計算を用いて、確率場 v(t,ω) = Ytt,x に対する経路的微分 ∂tv, ∂ωv, および ∂ωω²v を定義する。
• 前向き過程とブラウン運動を独立に扱えるようにするため、拡大された確率空間 (Ωd+n, Fd+nT, P₀d+n) を採用し、退化拡散の解析を可能にする。
• 文献[7]の定理3.4を応用し、前向き係数に関する緩い仮定の下で、粘性解の比較性および一意性を確立する。
• 非マルコフ型FBSDEから、関数的微分を含む生成子と、ドリフト・拡散係数を特定することで、パス依存型PDEを形式的に導出する。
• Ytt,x = v(t,x) の表現を用いて、FBSDEの解とPPDEの粘性解を結びつけ、終端条件 v(T,x) = g(x) を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡散係数が退化している場合でも、非マルコフ型FBSDEが、半線形パス依存型PDEの粘性解を提供できるか？
• RQ2 Ekrenらの粘性解枠組みは、σσᵀ > 0 を要件としない退化ケースへと拡張可能か？
• RQ3 前向き係数に関する仮定を弱めた場合に、パス依存型PDEの粘性解に対して、比較原理をどのように確立できるか？
• RQ4 拡散係数が正方行列でも非退化でもない場合でも、非マルコフ型FBSDEの解が、粘性意味でのパス依存型PDEを満たすことが示せるか？
• RQ5 拡大された空間の手法によって、退化ケースにおける粘性解の一意性が保たれるか？

主な発見

• 非マルコフ型FBSDEの解は、拡散係数σが正方行列でも非退化でもない場合でも、半線形パス依存型PDEの粘性解を定義する。
• 本稿では、確率場 v(t,x) = Ytt,x が、一般化された粘性解定義の下で、終端条件 v(T,x) = g(x) を満たすパス依存型PDEの粘性解であることを証明している。
• 定理3.4（[7]）を用いて、UCb(Λd+n) 上で粘性解の一意性が確立されており、本稿の仮定（定数のbおよびσを含む）を満たしている。
• 与えられた仮定の下で、粘性下位解および上位解の比較原理が成り立ち、有界な粘性下位解が有界な上位解に支配されることが保証される（終端条件が不等式を満たす場合）。
• 確率空間を拡大する手法により、前向き過程とブラウン運動を独立に扱えるようになり、退化拡散の取り扱いが可能になる。
• 導出されたパス依存型PDEには、関数的微分 ∂tv, ∂ωv, ∂ωω²v が含まれ、生成子にはドリフト、拡散係数、およびドライバーfが関与しており、FBSDEとPPDEとの間の形式的リンクが確認された。