[論文レビュー] Volumes of moduli spaces of flat surfaces

Adrien Sauvaget|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、滑らかな角が厳密に有理数角である平坦な曲面のモジュライ空間におけるVeech体積の有限性および明示的計算可能性を確立する。$k$-微分のモジュライ空間における交線論および大きな $k$ における漸近解析を用いて、Veech体積が有理数係数の区分的多項式であり、有理数角で連続的であり、整数角では位相的再帰関係を満たすことを証明し、大きな $k$ の極限においてある予想を検証する。

ABSTRACT

We study the moduli spaces of flat surfaces with prescribed conical singularities. Veech showed that these spaces are diffeomorphic to the moduli spaces of marked Riemann surfaces, and endowed with a natural volume form depending on the orders of the singularities. We show that the volumes of these spaces are finite. Moreover we show that they are explicitely computable by induction on the Euler characteristics of the punctured surface for almost all orders of the singularities.

研究の動機と目的

• 平坦な曲面のモジュライ空間におけるVeech体積関数が、すべての厳密に有理数角データに対して有限であるかどうかを特定すること。
• すべての角が有理数であるが整数でない場合に、Veech体積を明示的に計算すること。
• 体積関数が整数値をとる角に連続的に拡張可能かどうかを検討すること。
• 大きな $k$ における $k$-微分体積の漸近的挙動を用いて、整数角における位相的再帰関係を検証すること。
• 大きな $k$ の極限において、$k$-微分の整数特異点をもつMasur-Veech体積の予想的式が正当化されるかどうかを検証すること。

提案手法

• 整数特異点をもたない $k$-微分のMasur-Veech体積を計算するために、$k$-微分のモジュライ空間における交線論を用いる。
• 高次の $k$ における $k$-微分体積の漸近的挙動を調べるために、正則除数のモジュライ空間上の積分の漸近解析を適用し、Veech体積と関連付ける。
• 体積寄与を符号化するために、$\mathcal{S}(z) = \frac{\sinh(z/2)}{z/2}$ および $\mathcal{C}(z) = \frac{\sinh(z/2)}{z/2} \cdot \frac{\cosh(z/2)}{\sinh(z/2)}$ を含む母関数を用いる。
• 母関数の対数微分を解析し、$\mathcal{S}$, $\mathcal{S}'$, $\mathcal{C}$ に関する恒等式を用いて、位相的再帰関係を導出する。
• 体積関数 $\mathcal{V}(a)$ が $n \geq 3$ では $C^1$、$n=2$ では $C^2$ であり、整数座標で消えることから、有理数角における体積関数の連続性を証明する。
• 大きな $k$ の極限において一貫性の確認と明示的計算を通じて、整数特異点をもつ $k$-微分のMasur-Veech体積の予想的式が正当化されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦な曲面のモジュライ空間におけるVeech体積関数は、すべての厳密に有理数角データに対して有限か？
• RQ2 すべての角が有理数であるが整数でない場合に、Veech体積を明示的に計算可能か？
• RQ3 体積関数は整数値をとる角データに連続的に拡張可能か？
• RQ4 整数角において位相的再帰関係が成立するか？その構造は何か？
• RQ5 大きな $k$ の極限において、整数特異点をもつ $k$-微分のMasur-Veech体積の予想的式は正当化されるか？

主な発見

• 厳密に有理数角をもつ平坦な曲面のモジュライ空間の総体積は有限であり、$\mathrm{Vol}(a) = q(a)^{-1} \mathcal{V}(a)$ で与えられる。ここで $\mathcal{V}(a)$ は次数 $4g-3+n$ の有理数係数の区分的多項式である。
• 体積関数 $\mathrm{Vol}(a)$ は $\Delta_{g,n}^+$ に連続的に拡張可能であり、$\mathcal{V}(a)$ は $n \geq 3$ では $C^1$、$n=2$ では $C^2$ であり、整数座標を持つベクトルで消える。
• 大きな $k$ において、整数特異点をもたない $k$-微分のMasur-Veech体積の漸近的挙動は、整数特異点をもつ体積の予想的式を支持する。
• 整数角において位相的再帰関係が成立し、母関数の構造および $\mathcal{S}$-型関数の対数微分から導出される。
• 大きな $k$ の極限において、明示的計算と一貫性の確認を通じて、整数特異点をもつ $k$-微分のMasur-Veech体積の予想的式が正当化される。
• 体積関数は有理数角で連続的であり、ほとんどすべての $a \in \Delta_{g,n}^+$ に対して $\mathrm{Vol}(a) = q(a)^{-1} \mathcal{V}(a)$ が成り立つ。さらに、すべての $a$ に対して成り立つと予想されている。