[論文レビュー] Wall crossing of the moduli spaces of perverse coherent sheaves on a blow-up

Kōta Yoshioka|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ブリッジランド安定性条件を用いて、ブロー-up表面上の perverse な整合的層のモジュライ空間におけるウォールクロッシング行動を調査する。Gieseker 型の半安定性が大体積極限におけるブリッジランド半安定性に対応することを確立し、安定性パラメータ空間上のウォールとチャネル構造が代数的コホロロジー群内の正の錐から引き戻されることを示し、Gieseker 安定性と μ-安定性をブリッジランド安定性によって統一する。

ABSTRACT

We give a remark on the wall crossing behavior of perverse coherent sheaves on a blow-up and stability condition constructed by Toda. We also explain the wall crossing of twisted stability in terms of stability condition.

研究の動機と目的

• ブロー-up表面上の perverse な整合的層のモジュライ空間におけるウォールクロッシング行動を理解すること。
• 大体積極限における Gieseker 型の半安定性がブリッジランド半安定性に対応することを関係づけること。
• ウォールとチャネル構造を用いて、Gieseker 安定性と μ-安定性をブリッジランド安定性条件を通じて統一すること。
• 安定性パラメータ空間からモジュライ空間のネロン＝セバール群への写像を構成し、Gieseker チャネルがネフ錐へ写像されることを示すこと。

提案手法

• 代数的コホロロジー群 $ H^*(X,\mathbb{Q})_{\text{alg}} $ 上の双線形形式を用いて、μ-半安定層のボゴモロフ不等式を分析する。
• 傾き変換を用いて、特にブロー-upに関連する双有理写像に付随する perverse な整合的層のカテゴリにおける安定性条件を構成する。
• 写像 $ \xi $ を $ \operatorname{NS}(X)_{\mathbb{R}} \times \operatorname{Amp}(X)_{\mathbb{R}} $ から $ v^\perp $ 内の正の錐へ構成し、ウォールとチャネル構造がこの錐からの引き戻しであることを示す。
• ウォールクロッシングをブロー-upの場合に研究するため、原点の近傍 $ U \subset \mathbb{C}^2 $ を解析的近傍として導入する。
• 写像 $ v^\perp \to \operatorname{NS}(M_H(v))_{\mathbb{Q}} $ と $ \xi $ を合成し、写像 $ \operatorname{NS}(X)_{\mathbb{Q}} \times \operatorname{Amp}(X)_{\mathbb{Q}} \to \operatorname{NS}(M_H(v))_{\mathbb{Q}} $ を得る。
• ベイヤーとマクリの結果を用いて、Gieseker チャネルの像がモジュライ空間のネフ錐内にあることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブロー-up表面上の perverse な整合的層のモジュライ空間におけるウォールクロッシング行動は、どのようにブリッジランド安定性条件に関係するか？
• RQ2 大体積極限における Gieseker 半安定性とブリッジランド半安定性の関係は何か？
• RQ3 安定性パラメータ空間 $ \operatorname{NS}(X)_{\mathbb{R}} \times \operatorname{Amp}(X)_{\mathbb{R}} $ 上のウォールとチャネル構造は、モジュライ空間の幾何にどのように関係するか？
• RQ4 Gieseker チャネルはブリッジランド安定性条件空間におけるチャネルとして特徴付けられるか？また、ネフ錐へ写像されるか？
• RQ5 代数的コホロロジー群 $ H^*(X,\mathbb{Q})_{\text{alg}} $ 上の双線形形式は、ウォールとチャネル構造を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• 安定性パラメータ空間 $ \operatorname{NS}(X)_{\mathbb{R}} \times \operatorname{Amp}(X)_{\mathbb{R}} $ 上のウォールとチャネル構造は、$ v^\perp $ 上のウォールとチャネル構造の引き戻しであるため、すべてのファイバー上の半安定性が同一であることを示唆する。
• Gieseker チャネルは、安定性条件が大体積極限におけるブリッジランド安定性と等価となるパラメータ空間の領域に対応する。
• 表面 $ X $ に対して $ \operatorname{Pic}(X) = \mathbb{Z}H $ が成り立つとき、$ w = v(\mathcal{O}_X) = (1,0,0) $ で定義されるウォールは $ r $ に依存せず、$ s \leq 0 $ の領域に位置し、方程式 $ t^2 + s(s - \frac{2a}{(H^2)}) = 0 $ を満たす。
• $ (v^2) > (H^2) $ のとき、$ 0 < s < \frac{1}{2} $ の間にはウォールが存在せず、$ s = \frac{1}{2} $ とウォール $ W_{(1,0,0)} $ の間の領域が Gieseker チャネルである。
• Gieseker チャネルのモジュライ空間 $ \operatorname{NS}(M_H(v))_{\mathbb{Q}} $ への写像の像は、ベイヤーとマクリによって確立されたネフ錐内にある。
• 整数 $ r_i, a_i $ のチェーンキャラクター分解における有界性を、双線形形式と安定性条件の制約のもとで示すことにより、ウォールの集合が有限であることが示される。