[論文レビュー] Weak convergence of Euler-Maruyama's approximation for SDEs under integrability condition

Jinghai Shao|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、標準的な成長条件の代わりに可積分性条件を仮定することで、特異なドリフトを有するSDEに対してEuler-Maruyamaスキームの弱収束を確立する。次元に依存しないハルナック不等式とギルサンフの定理を活用し、退化する拡散に対しても収束速度 $ \delta^{1/2 \wedge \alpha} $ を得る。さらに、確率的減衰ハミルトニアン系への応用を示す。

ABSTRACT

This work establishes the weak convergence of Euler-Maruyama's approximation for stochastic differential equations (SDEs) with singular drifts under the integrability condition in lieu of the widely used growth condition. This method is based on a skillful application of the dimension-free Harnack inequality. Moreover, when the drifts satisfy certain regularity conditions, the convergence rate is estimated. This method is also applicable when the diffusion coefficients are degenerate. A stochastic damping Hamiltonian system is studied as an illustrative example.

研究の動機と目的

• 古典的な成長条件が成立しない場合の、特異なドリフトを有するSDEに対するEuler-Maruyama近似の弱収束を確立すること。
• 標準的な成長条件やリャプノフ条件の代わりに、ドリフトに対するより弱い可積分性条件を導入すること。
• 拡散係数が退化する場合への収束解析の拡張。
• ドリフトに追加の正則性仮定を課した場合の収束速度の導出。
• 具体的な例として、確率的減衰ハミルトニアン系への手法の適用。

提案手法

• 標準的な成長条件を満たさない特異なドリフトを有するSDEに対して、次元に依存しないハルナック不等式を用いる。
• 同値な確率測度の下でSDEを再表現し、ハルナック不等式の適用を可能にするためにギルサンフの定理を適用する。
• 解析のため、ドリフトと拡散成分を分離するための補助過程を構築する。
• Euler-Maruyamaスキームによる時刻離散化近似を用い、正確な解と近似解の分布を比較する。
• 可積分性および正則性仮定を用いて、ギルサンフ変換におけるノヴィコフの条件を確立する。
• モーメント推定と確率積分のバインドを用いて、解とその近似の関数型の期待値の差を抑え、収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 成長条件を満たさない特異なドリフトを有するSDEに対して、Euler-Maruyamaスキームは弱収束するか？
• RQ2 次元に依存しないハルナック不等式は、成長条件やリャプノフ条件よりも弱い可積分性条件のもとで弱収束解析を可能にするか？
• RQ3 拡散行列が一様に非退化でない場合、この手法は退化する拡散係数に対しても拡張可能か？
• RQ4 ドリフトに追加の正則性仮定を課した場合、Euler-Maruyamaスキームの収束速度は何か？
• RQ5 この手法は、確率的減衰ハミルトニアン系のような具体的なモデルにおいて、どのように機能するか？

主な発見

• ドリフトが任意の成長条件やリャプノフ条件を満たさない場合であっても、可積分性条件の下で、特異なドリフトを有するSDEに対してEuler-Maruyamaスキームは弱収束する。
• ドリフトの正則性パラメータ $ \alpha $ を用いて、追加の滑らかさ仮定のもとで収束速度は $ \delta^{1/2 \wedge \alpha} $ である。
• 解析により、退化するSDEに対してもこの手法が適用可能であることが示された。具体的には、確率的減衰ハミルトニアン系の解析がその例である。
• 次元に依存しないハルナック不等式は、ギルサンフ変換におけるノヴィコフの条件の検証およびRadon-Nikodym微分の制御に不可欠である。
• $ \mathbb{L}_p^q $ に属さないようなドリフトのクラスに対しても収束結果が成り立つ。具体的な例として $ b(x) = \left( \sum_{n=1}^\infty \log\left(1 + \frac{1}{|x - n|^2}\right) \right)^{1/2} - x $ が挙げられる。
• モーメント推定と確率積分のバインドにより、解とその近似の関数型の期待値の差を制御し、最終的な収束速度が得られる。