[論文レビュー] Weak error estimates of the exponential Euler scheme for semi-linear SPDEs without Malliavin calculus

Xiaojie Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、追加ノイズを伴う半線形確率偏微分方程式（SPDE）に指数型エーラースキームを適用するための弱誤差解析を提示する。マリヤン・カシュラを避けるために、新しい弱誤差表現公式を用いる。主な貢献は、非線形性にやや弱い仮定を置いたもとで、スペクトルガレルキン空間近似と指数型エーラー時間積分を組み合わせた完全離散化における弱収束速度が1であることを厳密に確立することである。

ABSTRACT

This paper deals with the weak error estimates of the exponential Euler method for semi-linear stochastic partial differential equations (SPDEs). A weak error representation formula is first derived for the exponential integrator scheme in the context of truncated SPDEs. The obtained formula that enjoys the absence of the irregular term involved with the unbounded operator is then applied to a parabolic SPDE. Under certain mild assumptions on the nonlinearity, we treat a full discretization based on the spectral Galerkin spatial approximation and provide an easy weak error analysis, which does not rely on Malliavin calculus.

研究の動機と目的

• 加法的ノイズを伴う半線形SPDEにおける指数型エーラースキームの弱誤差推定を提供すること。
• 有界でない作用素Aに関連する不規則項を避ける弱誤差表現公式を開発すること。
• スペクトルガレルキン空間近似と指数型エーラー時間積分を組み合わせた完全離散化の弱収束を確立すること。
• 非線形SPDEにおける不規則項を扱うために通常必要とされるマリヤン・カシュラに依存しないこと。
• 非線形性Fの弱い正則性仮定のもとで、解析を放物型SPDEに拡張すること。

提案手法

• 有界でない作用素Aに関連する不規則項を排除するため、切断されたSPDEに適用する指数型エーラースキームの弱誤差表現公式を導出する。
• スペクトルガレルキン空間半離散化を用いて、加法的ノイズを伴う放物型SPDEに公式を適用する。
• 弱誤差解析を簡略化するために、変換されたコルモゴロフ方程式のアプローチを用いる。
• 誤差推定を容易にするために、非線形性Fの線形化技術を導入する。
• イトの公式とトレース推定を用いて、空間的および時間的離散化から生じる誤差項を評価する。
• 誤差制御に十分な正則性を保証するため、次元d=1,2,3におけるNemytskij作用素を含む、Fに関する仮定（仮定3.1）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形SPDEにおける指数型エーラースキームの弱誤差推定は、マリヤン・カシュラに依存せずに導出可能か？
• RQ2 スペクトルガレルキン空間近似を用いた指数型エーラースキームの弱収束速度は、放物型SPDEにおいてどの程度か？
• RQ3 弱誤差解析において、有界でない作用素Aに関連する不規則項はどのように排除または制御できるか？
• RQ4 マリヤン・カシュラに依存せずに弱収束を保証するための非線形性Fに必要な仮定は何か？
• RQ5 弱誤差解析は、空間的および時間的スキームを組み合わせた完全離散化に拡張可能か？

主な発見

• 有界でない作用素Aに関連する不規則項を含まない弱誤差表現公式が導出され、解析が簡素化された。
• スペクトルガレルキン空間近似と指数型エーラー時間積分を組み合わせた完全離散化は、弱収束速度が1に達する。
• 誤差推定はマリヤン・カシュラに依存せず、非線形SPDEにおける弱誤差解析の新たな道筋を提供する。
• 解析は非線形性Fの線形化と、次元d=1,2,3におけるNemytskij作用素を含む適切な仮定（仮定3.1）に依存する。
• 空間的弱誤差はC(λ_N)^{-β+ε}で有界であり、時間的誤差は変換されたコルモゴロフ方程式のアプローチで制御される。
• 全体の弱誤差推定はパラメータKに依存しないため、解析において一様な境界が得られる。