[論文レビュー] Weak Integer Additive Set-Indexers of Certain Graph Products

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2つの弱整数加法的集合インデクサー（弱IASI）グラフの基本的グラフ積—カルテシアン積、辞書的積、コロナ積、ルート付き積—における弱IASIの許容性を調査する。これらの積が特定のラベル付け条件を満たす場合に弱IASIを有することを確立し、コロナ積およびルート付き積のスパアリング数について明示的な公式を導出することで、個々のグラフを超えた集合インデクシング理論を拡張する。

ABSTRACT

An integer additive set-indexer is defined as an injective function $f:V(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ such that the induced function $g_f:E(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ defined by $g_f (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective, where $f(u)+f(v)$ is the sumset of $f(u)$ and $f(v)$. If $g_f(uv)=k \forall uv\in E(G)$, then $f$ is said to be a $k$-uniform integer additive set-indexers. An integer additive set-indexer $f$ is said to be a weak integer additive set-indexer if $|g_f(uv)|=max(|f(u)|,|f(v)|) \forall uv\in E(G)$. We have some characteristics of the graphs which admit weak integer additive set-indexers. We already have some results on the admissibility of weak integer additive set-indexer by certain graphs and finite graph operations. In this paper, we study further characteristics of certain graph products like cartesian product and corona of two weak IASI graphs and their admissibility of weak integer additive set-indexers and provide some useful results on these types of set-indexers.

研究の動機と目的

• 2つの弱IASIグラフの基本的グラフ積が弱IASIを許容するかどうかを特定すること。
• 弱IASIがグラフ積上で一貫して定義可能となる条件を特徴づけること。
• 弱IASIグラフのコロナ積およびルート付き積のスパアリング数について明示的な公式を導出すること。
• 整数加法的集合インデクシング理論を複合グラフ構造へと拡張すること。

提案手法

• 弱IASIを、非負整数の部分集合への単射頂点ラベル付けとして定義し、和集合作用による誘導された辺ラベル付けが単射であり、|f⁺(uv)| = max(|f(u)|, |f(v)|) を満たすことを要件とする。
• 元のグラフのラベルパターンを複製・変更することで、グラフ積の頂点ラベル付けを構築し、隣接する2頂点が同時に非単一集合ラベルを持つことのないよう保証する。
• カルテシアン積では、頂点の種別（単一ラベル付きまたはそれ以外）に応じて、1つのグラフのコピー間でラベルパターンを交互に変更することで、弱IASI性質を維持する。
• コロナ積では、G₁の非単一ラベル付き頂点に対応するG₂のコピーに1一様ラベル付けを適用し、単一ラベル付き頂点に接続されるコピーには整数倍のラベルを用いる。
• ルート付き積では、G₂のコピーの集合ラベルを、G₁における対応する頂点のインデックスでスケーリングし、ルート頂点のラベル付けを調整することで、単射性および弱IASI条件を保つ。
• 得られたラベル関数が、すべての辺において単射的であり、弱IASI条件を満たすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの弱IASIグラフのカルテシアン積が弱IASIを許容する条件は何か？
• RQ2 2つの弱IASIグラフの辞書的積に弱IASIを一貫して定義可能か？また、これを保証するラベル付けルールは何か？
• RQ3 2つの弱IASIグラフのコロナ積のスパアリング数の正確な公式は何か？
• RQ4 2つの弱IASIグラフのルート付き積は弱IASI性質を保持するか？また、ラベル付けを体系的に構築する方法は何か？
• RQ5 元のグラフの位数、サイズ、および頂点次数は、それらの積のスパアリング数にどのように影響するか？

主な発見

• 2つの弱IASIグラフのカルテシアン積 G₁□G₂ は、元のグラフの頂点種別に基づき、コピー間で単一ラベルと非単一ラベルのパターンを交互に使用することで、弱IASIを許容する。
• 辞書的積 G₁⊙G₂ は、G₁ が1一様であるか、または G₁ の非単一ラベル付き頂点数 r に対し、r 個の G₂ のコピーが1一様である場合に限り、弱IASIを許容する。
• コロナ積 G₁⊙G₂ のスパアリング数は、r₁(1 + r₂) + (n₁ − r₁)m₂ である。ここで r₁ および r₂ は、それぞれ G₁ および G₂ の単一ラベル付き頂点数である。
• G₂⊙G₁ のスパアリング数は r₂(1 + r₁) + (n₂ − r₂)m₁ であり、積の順序に依存する非対称性が公式に現れる。
• 2つの弱IASIグラフのルート付き積 G₁∘G₂ は、G₂ のコピーの集合ラベルを、G₁ における対応する頂点のインデックスでスケーリングすることで、弱IASIを許容する。ルート頂点のラベル付けには特別な処理が必要である。
• 結果として、弱IASI性質が複数の基本的グラフ積において保持されることを示し、コロナ積およびルート付き積のスパアリング数について明確な公式が得られた。