[論文レビュー] Weakly nonlinear analysis of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation arising from pension savings management

Zuzana Macova, Daniel Ševčovič|ArXiv.org|May 1, 2009

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance参考文献 3被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、年金積立における最適動的資産配分のハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式について、漸近展開と境界を用いた弱非線形解析を展開し、最適株式比・債券比の近似を得る。主な貢献は、感度分析と離散時間モデルとの検証を可能にする一次近似解析的戦略の導出であり、数値結果ではスロバキアおよびブルガリア年金制度のそれぞれで、最終給与の5.2倍および8.1倍の蓄積資産が得られた。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to analyze solutions to a fully nonlinear parabolic equation arising from the problem of optimal portfolio construction. We show how the problem of optimal stock to bond proportion in the management of pension fund portfolio can be formulated in terms of the solution to the Hamilton-Jacobi-Bellman equation. We analyze the solution from qualitative as well as quantitative point of view. We construct useful bounds of solution yielding estimates for the optimal value of the stock to bond proportion in the portfolio. Furthermore we construct asymptotic expansions of a solution in terms of a small model parameter. Finally, we perform sensitivity analysis of the optimal solution with respect to various model parameters and compare analytical results of this paper with the corresponding known results arising from time-discrete dynamic stochastic optimization model.

研究の動機と目的

• 年金積立における最適ポートフォリオ選択問題を完全非線形放物型HJB方程式として定式化すること。
• 弱非線形仮定の下でHJB方程式の解に対する解析的境界および漸近展開を導出すること。
• モデルパラメータに対する最適株式比・債券比の感度分析を実施すること。
• 既知の離散時間動的確率的最適化モデルと比較して、連続時間の解析的結果を検証すること。
• 年金運用における最適投資戦略の実用的近似手法を提供すること。

提案手法

• 終端条件 $ V(T,y) = U(y) $ を持つ完全非線形放物型HJB方程式として最適資産配分問題を定式化し、$ U $ は凹型で有界かつ単調増加な効用関数である。
• 小さなパラメータ $ \varepsilon $ のべき級数展開を用いた弱非線形解析を適用し、値関数および最適制御の一次漸近近似が得られる。
• ハミルトニアンの一次条件から最適制御 $ \theta^* $ を導出し、$ A_\varepsilon $ と $ B^2 $ の $ \theta $ に関する微分の比を含む陰関数方程式が得られる。
• 与えられた仮定の下でドリフトおよび拡散係数の単調性および凸性の性質を用いて解の境界を構築する。
• 最適戦略の下での資産過程 $ y_t $ のモンテカルロシミュレーションを実施し、解析的結果の数値的妥当性を検証する。
• 連続時間の解析的解と先行研究における離散時間動的プログラミングモデルを比較し、最適株式比・債券比 $ \hat{\theta}(t,y) $ の差を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱非線形手法を用いて、年金積立ポートフォリオの最適株式比・債券比をどのように解析的に近似できるか。
• RQ2 動的年金運用管理における完全非線形HJB方程式の解の境界および漸近的挙動は何か。
• RQ3 リスク回避度や小さなパラメータ $ \varepsilon $ の変化に対して、最適戦略はどの程度感度を示すか。
• RQ4 連続時間HJBモデルの解析的結果と離散時間動的確率的最適化モデルの結果は、どのように比較できるか。
• RQ5 $ \varepsilon $ の異なる値（例えばスロバキアでは0.09、ブルガリアでは0.14）が、退職時の期待蓄積資産に与える影響は何か。

主な発見

• HJB方程式の解の漸近展開により、一次近似が得られ、最適戦略のモデルパラメータ依存性の定性的分析が可能になる。
• 最適株式比・債券比 $ \hat{\theta}(t,y) $ は、制御 $ \theta $ に関するドリフトおよび拡散係数の微分に依存する関数 $ G $ の逆関数を介して陰的に導出される。
• スロバキア年金制度（$ \varepsilon = 0.09 $）では、退職時の期待蓄積資産は最終年収の約5.2倍に達する。
• ブルガリア年金制度（$ \varepsilon = 0.14 $）では、期待蓄積資産は約8.1倍に達し、$ \varepsilon $ の増加が貯蓄パフォーマンスに顕著な影響を与えることが示された。
• 連続時間モデルと離散時間モデルの最適比例 $ \hat{\theta}(t,y) $ 間の最大差は0.33であり、$ t=1 $、$ y \approx 1.3 $ で観測され、定性的に強い一致が確認された。
• HJB方程式を解くために用いた数値スキームは2次収束性を示し、CRRA族を超えるより広範な効用関数族にも適用可能である。