[論文レビュー] What Symmetries are Preserved by a Fermion Boundary State?

Philip Boyle Smith, David Tong|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2020

Topological Materials and Phenomena参考文献 27被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、1+1次元における2N個のメイオナ状態の境界状態を、チャーミカルフェルミオン数の偶奇性を保つものとして分類し、このような状態が存在するのは2Nが8の倍数である場合に限ることを示している。特筆すべきは、有理直交行列Rと荷重格子Λ[R]を用いて、強化された連続的対称性を同定し、Maldacena-Ludwigのモノポール状態によって実現されるSO(8)境界状態が最大対称性を示していることである。主な結果は、Z₂×Z₂を保存する境界状態の完全な分類であり、dyon4状態が最小例である。また、すべてのこのような状態の中で、非可約dyon状態が最小の中心電荷を持つという予想が提示されている。

ABSTRACT

Usually, a left-moving fermion in d=1+1 dimensions reflects off a boundary to become a right-moving fermion. This means that, while overall fermion parity $(-1)^F$ is conserved, chiral fermion parity for left- and right-movers individually is not. Remarkably, there are boundary conditions that do preserve chiral fermion parity, but only when the number of Majorana fermions is a multiple of 8. In this paper we classify all such boundary states for $2N$ Majorana fermions when a $U(1)^N$ symmetry is also preserved. The fact that chiral-parity-preserving boundary conditions only exist when $2N$ is divisible by 8 translates to an interesting property of charge lattices. We also classify the enhanced continuous symmetry preserved by such boundary states. The state with the maximum such symmetry is the $SO(8)$ boundary state, first constructed by Maldacena and Ludwig to describe the scattering of fermions off a monopole

研究の動機と目的

• 1+1次元における2N個のメイオナ粒子の境界状態を、(−1)FLおよび(−1)FRのチャーミカルフェルミオン数の偶奇性を保つものとして分類すること。
• U(1)N対称性がチャーミカルフェルミオン数の偶奇性とともに保存される条件を特定すること。
• SO(8)のような、このような境界状態に現れる強化された連続的対称性を同定すること。
• Z₂×Z₂を保存する境界状態の許容される中心電荷gRの全スケーリングを特徴付け、最小のgRを持つ状態を同定すること。
• 非可約dyon状態が、すべてのZ₂×Z₂を保存する境界状態の中で最小の中心電荷を持つという予想を提示し、それが最も安定したギャップを持つ位相であることを示唆すること。

提案手法

• 境界状態は、左移動Weylフェルミオンのチャーミカル荷重Qαiと右移動Weylフェルミオンの¯Qαiを用いて構築され、∑i QαiQβi = ∑i ¯Qαi¯Qβiを満たす場合にU(1)N対称性が保存される。
• 強化された連続的対称性は、有理直交行列Rij = (¯Q⁻¹)iαQαjと関連する荷重格子Λ[R] = ZN ∩ R⁻¹ZNによって決定される。
• Z₂×Z₂のチャーミカルフェルミオン数の偶奇性対称性が保存されるのは、指数[ZN : ZN ∩ R⁻¹ZN] / [DN : DN ∩ R⁻¹DN] が2に等しい場合に限る。これは、荷重ベクトルpとqのノルムおよび内積に関する特定の算術的条件を満たす場合に成立する。
• 分類は代数的数論および格子の一致サイト構造を用いて導出され、Z₂×Z₂不変性の条件は、|p|²、|q|²、およびp·qのmod 4算術に関する3つの場合に還元される。
• Z₂×Z₂を保存する境界状態をすべて生成するために、修正されたヌルベクトル構成が用いられ、最初のU(1)対称性についてQ1iを奇数、¯Q1iを偶数に制限する。
• 中心電荷gRは行列Rから計算され、その二乗値(gR)²は、さまざまなNについて分析され、最小値および許容される値が特定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2N個のメイオナ粒子の境界状態において、チャーミカル荷重Qと¯Qが満たす条件は何か？ これによりZ₂×Z₂のチャーミカルフェルミオン数の偶奇性対称性が保存される。
• RQ2 このような境界状態が保存する強化された連続的対称性群の構造は何か？ また、行列R = ¯Q⁻¹Qによってどのように特定されるか？
• RQ3 Z₂×Z₂を保存する境界状態が存在するNの値は何か？ また、このような状態における中心電荷gRの最小値は何か？
• RQ4 さまざまなNにおいて、(gR)²の許容される値はどのように変化するか？ また、Z₂×Z₂を保存する境界状態の中心電荷のスケーリングはどのようなものか？
• RQ5 非可約dyon状態は、すべてのZ₂×Z₂を保存する境界状態の中で最小の中心電荷を持つものか？

主な発見

• Z₂×Z₂のチャーミカルフェルミオン数の偶奇性対称性は、指数[ZN : ZN ∩ R⁻¹ZN] / [DN : DN ∩ R⁻¹DN] が2に等しい場合に限り保存され、これは荷重ベクトルがノルムおよび内積に関して特定のmod 4条件を満たす場合に成立する。
• 強化された連続的対称性は、有理直交行列R = ¯Q⁻¹Qと関連する荷重格子Λ[R] = ZN ∩ R⁻¹ZNによって決定され、これは左移動と右移動フェルミオンの荷重の差を捉えている。
• N = 4の場合、最小中心電荷は(gR)² = 2であり、これはdyon4状態によって実現され、MaldacenaとLudwigによって最初に構成されたSO(8)境界状態に対応する。
• N = 4kの場合、最小の(gR)²はN/2であり、非可約dyon状態R = dyon4kによって達成される。この状態は、すべてのZ₂×Z₂を保存する境界状態の中で最小の中心電荷を持つと予想されている。
• Z₂×Z₂を保存する状態における(gR)²の許容される値は、N ≡ 0 mod 8のとき(gR)² = N/2 + 4r、N ≡ 4 mod 8のとき(gR)² = N/2 + 2rであり、重複度はOEISシーケンスA031360によって与えられる。
• (gR)²の値のスケーリングは無限大であり、すべての値が2 + 4kの形に実現される。これは、dyon4状態が無限に続くこのような境界状態の系列の中で最も単純な例であることを確認している。