[論文レビュー] When the Optimum is also Blind: a New Perspective on Universal Optimization

Marek Adamczyk, Fabrizio Grandoni+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、オフライン最適解ではなく、同じ制約下での最適なユニバーサル解を基準として比較する、革新的な確率的ユニバーサル最適化フレームワークを導入する。このフレームワークは、構成整数計画法（CONF-IP）の丸めと劣微分最適化技術を活用することで、集合被覆問題に対して$H_n$の近似比を達成し、他のNP困難問題に対しても改善された境界を得る。

ABSTRACT

Consider the following variant of the set cover problem. We are given a universe $U=\{1,...,n\}$ and a collection of subsets $\mathcal{C} = \{S_1,...,S_m\}$ where $S_i \subseteq U$. For every element $u \in U$ we need to find a set $ϕ(u) \in \mathcal C$ such that $u\in ϕ(u)$. Once we construct and fix the mapping $ϕ:U ightarrow \mathcal{C}$ a subset $X \subseteq U$ of the universe is revealed, and we need to cover all elements from $X$ with exactly $ϕ(X):=\cup_{u\in X} ϕ(u)$. The goal is to find a mapping such that the cover $ϕ(X)$ is as cheap as possible. This is an example of a universal problem where the solution has to be created before the actual instance to deal with is revealed. Such problems appear naturally in some settings when we need to optimize under uncertainty and it may be actually too expensive to begin finding a good solution once the input starts being revealed. A rich body of work was devoted to investigate the approximability of such problems under the regime of worst case analysis or when the input instance is drawn randomly from some probability distribution. Here one typically compares the quality of the produced solution with the optimal offline solution. In this paper we consider a different viewpoint: What if we would compare our approximate universal solution against an optimal universal solution that obeys the same rules as we do? We show that under this viewpoint it is possible to achieve improved approximation algorithms for the stochastic version of universal set cover. Our result is based on rounding a proper configuration IP that captures the optimal universal solution, and using tools from submodular optimization. The same basic approach leads to improved approximation algorithms also for other related problems.

研究の動機と目的

• ユニバーサル最適化における最悪ケースと期待比ベンチマークの限界を克服し、同じ制約下での最適ユニバーサル解とのより自然な比較を導入すること。
• 従来の期待比モデルよりも優れた近似保証を得られる、確率的ユニバーサル問題向けのフレームワークを開発すること。
• 集合被覆、頂点被覆、辺被覆、有向スティーナー木、マルチカット、施設配置問題を含む、複数のNP困難被覆問題への応用を拡張すること。
• 構成整数計画法と劣微分最適化に基づく統一的手法を用いて、タイトな近似比を達成すること。
• 独立活性化モデルに限らず、多項式的に有界なサポートを持つ一般の確率分布に対しても、最適近似比（例：集合被覆問題では$H_n$）を達成できること。

提案手法

• 入力が明らかになる前段階で、要素から集合へのすべての有効なマッピングを捉える、最適ユニバーサル解を構成整数計画法（CONF-IP）として定式化する。
• CONF-IPを線形計画法（LP-MC）に緩和し、双対性とフローに基づく解析を用いて元の問題と関連付ける。
• 劣微分最適化に基づく丸め手順を適用し、分数解をコスト増加が有界な整数解に変換する。
• Räckeの木分解を用いて、一般のグラフをカット構造を近似的に保存する木に埋め込み、効率的な解の構築を可能にする。
• 相対的負荷$O(\log n)$を有する分解木の凸結合を活用し、すべてのグラフにおいて近似比を制限する。
• 木分解からの双対解をスケーリングし、元のグラフに対する妥当な双対解を導出し、マルチカット問題における$O(\log n)$近似比を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適ユニバーサル解との比較によって、オフライン最適解ではなく、ユニバーサル最適化におけるより良い近似保証を達成できるか？
• RQ2 多項式的に有界なサポートを持つ一般の確率分布下で、ユニバーサル集合被覆問題に対して$H_n$近似が可能か？
• RQ3 提案されたフレームワークは、集合被覆を越えて、他のNP困難被覆問題へ拡張可能か？
• RQ4 構成整数計画法と劣微分最適化の使用が、ユニバーサル確率的設定における近似比をどのように改善するか？
• RQ5 独立活性化モデル下で、木分解技術を用いて一般のグラフにおけるユニバーサルマルチカット問題の近似比はどの程度達成可能か？

主な発見

• 本稿は、多項式的に有界なサポートを持つ任意の確率分布下で、ユニバーサル集合被覆問題に対して$H_n$の近似比を達成し、古典的なオフライン近似比と一致する。
• 独立活性化モデル下で一般のグラフにおけるユニバーサルマルチカット問題に対して、最適ユニバーサル解との比較で$O(\log n)$の近似比を達成する。
• 従来の期待比モデルに比べ、最適ユニバーサル解をベンチマークとして採用することで、ユニバーサル制約下でより自然な比較が可能になる。
• 本アプローチは一般性に富み、頂点被覆、辺被覆、有向スティーナー木、マルチカット、施設配置問題に対して、改善された近似アルゴリズムを提供する。
• Räckeの木分解を用い、$O(\log n)$の相対的負荷を有することで、近似比が頂点数に対して対数的にスケーリングされることを保証する。
• 木上の分数解（LP-MC）の丸めは3近似を達成でき、この結果は分解木の凸結合により一般のグラフへ拡張される。