[論文レビュー] Where to place a hole to achieve a maximal escape rate

Leonid Bunimovich, Alex Yurchenko|ArXiv.org|Nov 26, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、強いカオス的力学系の位相空間における穴の位置が脱出率に与える影響を調査し、穴のサイズが同一の場合、脱出率は最大最小周期を持つ周期点を含む穴で最大になると示している。主な結果は、脱出率が穴のサイズだけでなく、特に穴内に存在する周期点の最小周期という動的特徴に強く依存することであり、これは漸近的ではなく、すべての有限時間に対して成り立つ。

ABSTRACT

A natural question of how the survival probability depends upon a position of a hole was seemingly never addressed in the theory of open dynamical systems. We found that this dependency could be very essential. The main results are related to the holes with equal sizes (measure) in the phase space of strongly chaotic maps. Take in each hole a periodic point of minimal period. Then the faster escape occurs through the hole where this minimal period assumes its maximal value. The results are valid for all finite times (starting with the minimal period) which is unusual in dynamical systems theory where typically statements are asymptotic when time tends to infinity. It seems obvious that the bigger the hole is the bigger is the escape through that hole. Our results demonstrate that generally it is not true, and that specific features of the dynamics may play a role comparable to the size of the hole.

研究の動機と目的

• 穴の空間的位置がオープン力学系における脱出率に与える依存関係を調査し、穴のサイズのみが脱出を決定するとする仮定に挑戦すること。
• 穴のサイズを超えた、非直感的な動的要因（特に穴内に存在する周期点の最小周期）が、強いカオス的系における脱出率に顕著に影響することを特定すること。
• 通常の力学系理論における漸近的結果とは対照的に、有限時間における脱出率分析の枠組みを確立すること。
• マークフ・パーティションと強いカオス性を持つ系において、穴が最大最小周期の周期点を含む場合に脱出率が最大になると示すこと。
• 倍加写像、テント写像、ロジスティック写像、ベイカー写像を含む複数のカオス的写像にわたり、この結果を一般化し、一貫した挙動を示すこと。

提案手法

• 脱出率を、まだ脱出していない軌道の生存確率の指数的減衰率として定義する。
• 穴 A のポアンカレ再帰時間 τ(A) を、T^n(A) ∩ A が正の測度を持つ最小の n として定義し、これを穴内に存在する周期点の最小周期の代理とする。
• 穴内に存在する周期点の最小周期と、写像の繰り返しによる穴の前像の重なりの間の対応関係を確立する。
• 記号的力学と測度的同相写像を用いて、テント写像やロジスティック写像などの系を、周期軌道が明確に特徴づけられるシフト空間に還元する。
• マークフ・パーティション（例：倍加写像における二進区間）を用いて、穴 I_{i,N} を定義し、それらの τ および ρ 値を体系的に計算する。
• 測度論的議論と前像集合の性質を用いて、最小周期以降のすべての有限時間において、τ(I_{i,N}) が大きいほど脱出率 ρ(I_{i,N}) が大きいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穴のサイズが同一であっても、カオス的系の位相空間における穴の位置が脱出率に影響を与えるか？
• RQ2 穴内に存在する周期点の最小周期といった動的特徴が、穴のサイズを上回って脱出率を決定づけることができるか？
• RQ3 穴の位置による脱出率の依存関係は、有限時間においても成り立つか、それとも漸近的極限でのみ成り立つか？
• RQ4 倍加写像、テント写像、ロジスティック写像、ベイカー写像といった異なるカオス的系では、穴の配置が脱出ダイナミクスにどのように影響するか？
• RQ5 動的構造のため、より大きな穴の脱出率がより小さな穴の脱出率を下回ることはあるか？

主な発見

• 強いカオス的系において穴のサイズが同一の場合、脱出率は最大最小周期を持つ周期点を含む穴で最大になる。
• 脱出率は穴のサイズだけでなく、穴内の動的構造に依存し、特に穴内に存在する周期点の最小周期が決定的要因となる。
• この結果は最小周期以降のすべての有限時間において成り立つが、これは力学系理論において一般的に得られる漸近的結果とは異なり、珍しい。
• より大きな穴が低い最小周期の周期点を含む場合、より小さな穴よりも脱出率が小さくなることはあり得る。
• 穴内に存在する周期点の最小周期 τ に対して、脱出率は厳密に増加する：τ(I_j) > τ(I_i) ならば、ρ(I_j) > ρ(I_i) が、倍加写像、テント写像、ロジスティック写像、ベイカー写像について証明済み。
• 最小周期が小さい周期点では局所的脱出率が小さく、これはその点での動的遅延を示しており、非周期点に対しても均一な脱出率を示すが、周期点ではその影響が顕著に現れる。