[論文レビュー] On the origin of thermality

Bernard S. Kay|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2012

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、サイズが同等のバーストと結合する小さな量子系が熱平衡状態に達する条件を調査し、従来のおよび現代の熱平衡枠組みを拡張する。ランダムな純粋状態でエネルギー範囲が狭い状況を想定し、『modapprox』密度演算子を導入し、状態密度が指数関数的または二次関数的に増加する場合に熱平衡が成立することを示し、エントロピーがmodapprox形式の予測と一致することを示している。

ABSTRACT

It is well-known that a small system weakly coupled to a large energy bath in a total microcanonical ensemble will find itself in an (approximately) thermal state and, recently, it has been shown that, if the total state is, instead, a random pure state with energy in a narrow range, then the small system will still be approximately thermal with a high probability (wrt `Haar measure'). We ask what conditions are required for something resembling these 'traditional' and 'modern' thermality results to still hold when system and energy bath are of comparable size. In Part 1, we show that, for given system and energy-bath densities of states, s_S(e) and s_B(e), thermality does not hold in general, as we illustrate when both increase as powers of energy, but that it does hold in certain approximate senses, in both traditional and modern frameworks, when both grow as exp(be) or as exp(qe^2) and we calculate the system entropy in these cases. In their 'modern' version, our results rely on new quantities, which we introduce and call the S and B 'modapprox' density operators, which, we claim, will, with high probability, give a close approximation to the reduced density operator for the system and energy bath when the total state of system plus energy bath is a random pure state with energy in a narrow range. In Part 2 we clarify the meaning of these modapprox density operators and give arguments for our claim. The prime examples of non-small thermal systems are quantum black holes. Here and in two companion papers, we argue that current string-theoretic derivations of black hole entropy and thermal properties are incomplete and, on the question of information loss, inconclusive. However, we argue that these deficiencies are remedied with a modified scenario which relies on the modern strand of our methods and results here and is based on our previous 'matter-gravity entanglement hypothesis'.

研究の動機と目的

• バーストがはるかに大きくない場合、つまり系とバーストのサイズが同等である場合に、熱平衡（系がギブス状態にあること）がどのような条件下で出現するかを特定すること。
• エネルギー範囲が狭いランダムな純粋状態に基づく『現代的』熱平衡枠組みを、無限大に近いバーストではなく有限でサイズが同等の系へ拡張すること。
• このような系における還元密度行列に対する高確率的近似として『modapprox』密度演算子を導入し、その妥当性を裏付けること。
• これらの条件下での系のフォン・ノイマンエントロピーを分析し、modapprox形式による予測と比較すること。
• 量子ブラックホールに応用し、現在のストリング理論的ブラックホール熱平衡の導出が不完全であると主張し、物質-重力もつれ仮説に基づいた修正されたシナリオを提案すること。

提案手法

• 系とバーストの状態密度関数を仮定し、正で単調増加であると仮定して、系とバーストの『modapprox』密度演算子を定義する。
• 全ヒルバート空間上のハール測度を用い、エネルギーが狭い範囲にあるランダムな純粋状態の確率分布を定義する。
• この測度のもとで、系の還元密度行列の期待フォン・ノイマンエントロピーの式を導出し、ランダムな純粋状態に対するLubkin-Page近似を用いる。
• 得られた平均エントロピーとmodapprox形式による予測エントロピーを比較し、小さな誤差項まで一致することを示す。
• 累乗則、指数関数的、二次関数的の3種類の状態密度関数について、スターリングの近似と積分の漸近的評価を用いて誤差項を解析的に評価する。
• すべての3つの場合において、熱力学的極限で誤差項が無視可能であることを示し、modapprox形式の妥当性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 系とバーストの状態密度関数がどのような条件下で、サイズが同等の系において熱平衡が出現するか？
• RQ2 バーストが著しく大きな系でない場合に、エネルギー範囲が狭いランダムな純粋状態に基づく『現代的』熱平衡枠組みを拡張できるか？
• RQ3 新たに導入された『modapprox』密度演算子は、エネルギーが狭い範囲にあるランダムな純粋状態における、実際の系およびバーストの還元密度行列を高確率で近似できるか？
• RQ4 さまざまな状態密度関数のスケーリング領域において、系のフォン・ノイマンエントロピーはmodapprox形式による予測とどのように異なるか？
• RQ5 modapprox形式を用いることで、ストリング理論におけるブラックホールエントロピーおよび熱的性質の現在の導出を改善できるか？

主な発見

• 累乗則に従って状態密度が増加する場合、サイズが同等の系では一般には熱平衡が成立しないが、指数関数的および二次関数的増加の場合は近似的に成立する。
• 指数関数的状態密度の場合、$ \rho_{\text{S}}^{\text{modapprox}} $ のmodapproxエントロピーは、還元密度行列の平均エントロピーと、誤差項 $ O\left( \frac{1}{bE}(1 - e^{-bE}) \right) $ まで一致する。$ E \to \frac{1}{b} $ のときこの誤差項は無視可能となる。
• 二次関数的状態密度の場合、誤差項は $ \text{exp}(-qE^2/2) $ であり、$ E \to \frac{1}{\text{sqrt}(q)} $ のとき無視可能になる。これにより、この領域におけるmodapproxの有効性が裏付けられる。
• エントロピー計算における誤差項は $ O\left( \frac{1}{\text{min}(n_S(\theta), n_B(E-\theta))} \right) $ であり、累乗則的状態密度では $ 1/\text{sqrt}(\text{N}) $ のスケーリングを示し、$ \text{N} $ が大きいと無視可能になる。
• 全状態がエネルギーが狭い範囲にあるランダムな純粋状態であるとき、modapprox形式は系の還元密度行列を高確率で近似する。特に状態密度が指数関数的または二次関数的に増加する場合に有効である。
• 結果は、現在のストリング理論的導出に欠落があるとされるブラックホール熱平衡の修正シナリオを支持しており、現代的枠組みと物質-重力もつれ仮説に依拠している。