[論文レビュー] Nonassociative geometry and twist deformations in non-geometric string theory

Dionysios Mylonas, Peter Schupp+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2014

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 59被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、非幾何的ストリングコンpactificationを幾何的・代数的枠組みで扱うものであり、位相空間にねじれポisson構造を備えた境界を持つ開膜を用いる。膜のsigma模型を量子化することで、コンツェビチの形式的枠組みを用いて非可換性を示すスター積が導かれる。また、可換性と非可換性の背景の間でセイバーグ＝ワサン型写像を確立し、Rフラックスによって支配される基本的時空不確定性をもつ非可換量子力学の位相空間形式を構築する。

ABSTRACT

We describe nonassociative deformations of geometry probed by closed strings in non-geometric flux compactifications of string theory. We show that these non-geometric backgrounds can be geometrised through the dynamics of open membranes whose boundaries propagate in the phase space of the target space compactification, equiped with a twisted Poisson structure. The effective membrane target space is determined by the standard Courant algebroid over the target space twisted by an abelian gerbe in momentum space. Quantization of the membrane sigma-model leads to a proper quantization of the non-geometric background, which we relate to Kontsevich's formalism of global deformation quantization that constructs a noncommutative nonassociative star product on phase space. We construct Seiberg-Witten type maps between associative and nonassociative backgrounds, and show how they may realise a nonassociative deformation of gravity. We also explain how this approach is related to the quantization of certain Lie 2-algebras canonically associated to the twisted Courant algebroid, and cochain twist quantization using suitable quasi-Hopf algebras of symmetries in the phase space description of R-space which constructs a Drinfel'd twist with non-trivial 3-cocycle. We illustrate and apply our formalism to present a consistent phase space formulation of nonassociative quantum mechanics.

研究の動機と目的

• 標準的リーマン幾何が崩壊する非幾何的ストリングコンパクト化の幾何的・代数的記述を提供すること。
• 位相空間にねじれポアンカール構造を備えた開膜のダイナミクスから、自然に非可換性を示す時空幾何の変形が生じることを示すこと。
• 膜の量子化から得られる非可換スター積を用いて、非可換量子力学の整合的な位相空間形式を構築すること。
• 非可換背景をリー2代数および非自明な3コサイクルを持つクーライ・ホフ代数によるコチェーンねじれ量子化と関連付けること。
• 非幾何的設定における重力の変形を可能にする、可換性と非可換性の幾何の間のセイバーグ＝ワサン型写像を確立すること。

提案手法

• 運動量空間におけるアーベル層でねじれたコーエント・アーベルロイドを用いて、開膜の有効的ターゲット空間を定義する。
• 膜のsigma模型を適用し、コンツェビチのグローバル変形量子化形式的枠組みを用いて、位相空間上での非可換スター積を導出する。
• 量子力学的期待値と正値性の整合性を保証するため、スター積に2-循環性および3-循環性条件を課す。
• 基礎となるねじれポアンカール構造を用いて、可換性と非可換性の背景の間のセイバーグ＝ワサン写像を構築する。
• 非自明な3コサイクルを持つR空間における対称性のクーライ・ホフ代数を通じて、形式的枠組みをコチェーンねじれ量子化に関連付ける。
• ハイゼンベルク型の運動方程式を導出し、非可換位相空間枠組みにおける状態と観測量を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換時空構造を有する非幾何的ストリング背景を、一貫的に幾何化することは可能か？
• RQ2 開膜が位相空間における非可換幾何を実現する上で果たす役割は何か？
• RQ3 膜のsigma模型の量子化が、位相空間上での非可換スター積をどのように導くのか？
• RQ4 非可換量子力学の整合的な位相空間形式を構築することは可能か？ その結果、時空不確定性にどのような意味があるか？
• RQ5 セイバーグ＝ワサン写像は、非幾何的ストリング理論の文脈において、可換性と非可換性の幾何をどのように関連付けるか？

主な発見

• 開膜の有効的ターゲット空間は、ターゲット空間上に定義された標準的コーエント・アーベルロイドであり、運動量空間におけるアーベル層でねじれている。
• 膜のsigma模型の量子化により、位相空間上に非可換スター積が得られ、コンツェビチの形式的枠組みによるグローバル変形量子化が実現される。
• 非可換スター積は、積分に関して2-循環性および3-循環性を満たし、量子力学的確率と正値性の整合性が保証される。
• 非可換量子力学における不確定性関係はRフラックスによって修正され、面積および体積演算子の期待値が非ゼロとなる：⟨A^{ij}⟩ = ℏ R^{ijk} ⟨p_k⟩ および ⟨V^{ijk}⟩ = (3/2)ℏ² R^{ijk}。
• Rフラックスが非ゼロである座標の三重組（R^{ijk} ≠ 0）は、共通の固有状態を持たないため、時空における出来事の局所化に根本的な制限が生じることを示唆する。
• セイバーグ＝ワサン写像および非自明な3コサイクルを持つクーライ・ホフ代数によるコチェーンねじれ量子化を通じて、重力の非可換変形が形式的に実現される。