[論文レビュー] Yoneda lemma for enriched infinity categories

Vladimir Hinich|arXiv (Cornell University)|May 19, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、豊広化クワイバーのモノイダル圏を用いて、豊広化 ∞-圏におけるヤネダ補題を確立する。この圏における結合的代数が豊広化 ∞-圏に対応することを示し、この文脈でヤネダ補題を証明し、特に豊広化圏に積構造が備わっている場合に、高次 ∞-圏における対応関係の研究に応用する。

ABSTRACT

We continue the study of enriched infinity categories, using a definition equivalent to that of Gepner and Haugseng. In our approach enriched infinity categories are associative monoids in an especially designed monoidal category of enriched quivers. We prove that, in case the monoidal structure in the basic category M comes from direct product, our definition is essentially equivalent to the approach via Segal objects. Furthermore, we compare our notion with the notion of category left-tensored over M, and prove a version of Yoneda lemma in this context. Version 2: An error in 2.6.2 corrected. Version 3: a few minor corrections. Version 4: Section 8 added, describing correspondences of enriched categories. In case the basic monoidal category M is a prototopos with a cartesian structure, we prove that the category of correspondences is equivalent to the category of enriched categories over [1]. Version 5: terminology changed (former bicartesian fibrations became bifibrations), a few misprints corrected. Version 6: Section 2.11 added, dealing with operadic sieves. A number of corrections and clarifications made per referee's request. Version 7: final version, accepted to Advances in Math. Version 8: a minor correction of 2.8.9-2.8.10.

研究の動機と目的

• 豊広化クワイバーのモノイダル圏における結合的代数として、モデルに依存しない豊広化 ∞-圏の枠組みを構築すること。
• モノイダル ∞-圏 M に倣った ∞-圏の文脈でヤネダ補題を確立すること、特に M に積構造が備わっている場合を想定する。
• 提案された定義をセガル型定義および M に対して左テンソル化された圏と比較すること。
• ヤネダ補題を豊広化 ∞-圏間の対応関係の研究に応用すること、特に高次圏的および導来幾何的文脈において。

提案手法

• 豊広化クワイバーのモノイダル圏における結合的代数として豊広化 ∞-圏を定義する。これは、平坦平面オペラッドとのテンソル積に対する右随伴を用いて構成される。
• オペラッド $Φ_{\text{Ass}}$ を用いて、与えられた対象空間を持つクワイバーを定義し、ゲプナー＝オースゲンのアプローチを一般化する。
• クワイバー上の左および右作用をモデル化するための $Φ_{\text{BM}}$-オペラッド構造を導入し、関手およびモジュール構造の定義を可能にする。
• 区別された図式（カルテジアン図式の一般化に相当する）を保存する関手の圏を構成する。これはヤネダ条件を符号化する。
• 右カルタン拡張および局所化技術を用いて、区別された図式を保存する関手が、その制限によって決定されることを示す。
• 基底ケースにおいて積およびスライス圏に還元することで、$Φ_{\text{LM}}$ 上のカルテジアン族のファイバーを比較し、ヤネダ同型が成り立つことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイダル ∞-圏 M に倣った ∞-圏の文脈で、ヤネダ補題はどのように定式化され、証明されるか？
• RQ2 M に積構造が備わっている場合、クワイバーに基づく豊広化 ∞-圏の定義とセガル型定義の関係は何か？
• RQ3 豊広化 ∞-圏は、M に対して左テンソル化された圏とどのように関係し、どのような構造を引き継ぐのか？
• RQ4 ヤネダ補題は、特に高次圏的文脈において、豊広化 ∞-圏間の対応関係の研究に応用可能か？
• RQ5 オペラッドにおける内部ホムの役割は何か？また、豊広化関手およびモジュールの構成を支援する仕組みは何か？

主な発見

• 豊広化圏 M が十分なコロイミットを持つモノイダル ∞-圏であるとき、豊広化クワイバーの圏における結合的代数としての豊広化 ∞-圏の定義は、ゲプナー＝オースゲンの定義と同値である。
• モノイダル構造が直積によって与えられる場合、クワイバーに基づく定義は ∞-圏のセガル型定義と同値である。
• 区別された図式（カルテジアン図式の一般化）を保存する関手の圏は、全subcategory 上で定義された関手の圏と同値であり、このことから、このような関手がその値が帰納的稠密部分圏上で決定されることを示す。
• この豊広化設定においてヤネダ補題が成立する：各対象にその代表的プレシャーフを割り当てる関手は fully faithful であり、その全像は区別された図式の保存という性質によって特徴づけられる。
• オペラッドにおける内部ホムの構成により、豊広化 ∞-圏間の関手の圏を正確に記述でき、特に右カルタン拡張の観点から記述可能である。
• $Φ_{\text{LM}}$ 上のカルテジアン族のファイバーワイズ比較により、ヤネダ写像が同型であることが示され、ファイバーは積およびスライス圏として同定される。これにより、豊広化文脈におけるヤネダ埋め込みが fully faithful であることが確認される。