[論文レビュー] Zariski density of crystalline representations for any p-adic field

Kentaro Nakamura|Kyushu University Institutional Repository (QIR) (Kyushu University)|Apr 10, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の $p$-進体 $K$ 上の mod $p$ Galois 表現の変形空間の剛体解析的空間におけるクリスタリン表現のザリスキ・デュアリティを証明する。これは、$d=2$ および $K=\mathbb{Q}_p$ の場合に既に知られていた結果を一般化したものである。証明は、キシンの有限勾配部分空間理論とベラシュ・シェーヴェィエの外積技法を用いて、$p$-進族の三角的表現を構成することに依拠しており、これは固有の固有多様体（Eigenvariety）の局所的類似物である。

ABSTRACT

The aim of this article is to prove Zariski density of crystalline representations in the rigid analytic space associated to the universal deformation ring of a d-dimensional mod p representation of Gal(\bar{K}/K) for any d and for any p-adic field K. This is a generalization of the results of Colmez, Kisin (d=2, K=Q_p), of the author (d=2, any K), of Chenevier (any d, K=Q_p). A key ingredient for the proof is to construct a p-adic family of trianguline representations. In this article, we construct (an approximation of) this family by generalizing Kisin's theory of finite slope subspace X_{fs} for any d and for any K.

研究の動機と目的

• 任意の $p$-進体 $K$ 上で、mod $p$ Galois 表現の変形空間におけるクリスタリン表現のザリスキ・デュアリティを確立すること。
• Colmez, Kisin, Chenevier および著者による $d=2$ および $K=\mathbb{Q}_p$ の場合の既存結果を、任意の $d$ および任意の $p$-進体 $K$ に一般化すること。
• クリスタリン点の変形空間における研究を可能にする、局所的固有多様体の類似物としての普遍的 $p$-進族の三角的表現の構成。
• $B$-ペアおよび有限勾配部分空間を用いて、三角的表現の変形理論を高次元表現および任意の $p$-進体に拡張すること。

提案手法

• 任意の $d$ および任意の $p$-進体 $K$ に対して、キシンの有限勾配部分空間 $X_{fs}$ を一般化し、三角的表現の $p$-進族を構成する。
• ベラシュ・シェーヴェィエの外積法を用いて三角的変形を分析し、変形空間の構造を制御する。
• mod $p$ 表現 $\overline{V}$ の普遍的変形環 $R_{\overline{V}}$ に関連する剛体解析的空間 $\mathcal{X}_{\overline{V}}$ を定義する。
• ホッジ＝テイト重量を用いてクリスタリン点を特徴付け、正則性条件を課す：すべての埋め込み $\sigma: K \to \overline{\mathbb{Q}}_p$ に対して $k_{i,\sigma} \neq k_{j,\sigma}$（$i \neq j$）。
• 三角的表現を用いた $p$-進ホッジ理論の枠組み内で、ゴーヴァ・マズールの無限のフランジ（infinite fern）の議論を適用する。
• ルビン＝タートの字根 $\chi_{\mathrm{LT}}$ を用いたねじれ作用と、$\chi_{\mathrm{LT}}$ の作用により、変形空間全体にわたるクリスタリン点の稠密族を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $p$-進体 $K$ および任意の $d \geq 1$ に対して、正則クリスタリン表現の集合は変形空間 $\mathcal{X}_{\overline{V}}$ においてザリスキ・デュアリティをもつだろうか？
• RQ2 任意の $p$-進体および高次元 Galois 表現に対して、固有多様体の局所的類似物を構成できるだろうか？
• RQ3 $\overline{V}$ にどのような条件下で、正則クリスタリン点のザリスキ閉包が全変形空間 $\mathcal{X}_{\overline{V}}$ に一致するだろうか？
• RQ4 有限勾配部分空間 $X_{fs}$ を任意の $d$ および $K$ に一般化することで、普遍的 $p$-進族の三角的表現の構成を支えることは可能だろうか？

主な発見

• 正則クリスタリン表現の集合のザリスキ閉包 $\mathcal{X}_{\overline{V},\mathrm{reg}-\mathrm{cris}}$ が全変形空間 $\mathcal{X}_{\overline{V}}$ に一致する。条件は、$\overline{V}$ が絶対的単純で、$p \nmid d$ であり、$\zeta_p \in K$ であるか、または $\overline{V} \not\cong \overline{V}(\omega)$ である。
• 一般化された有限勾配部分空間を用いた $p$-進族の三角的表現の構成により、固有多様体の局所的類似物が得られ、変形空間におけるクリスタリン点の研究が可能になる。
• ルビン＝タートの字根 $\chi_{\mathrm{LT}}$ のべきによるねじれ作用は、変形空間の各成分間の同型を誘導し、クリスタリン点を空間全体にわたって移動可能にする。
• 任意の絶対的単純な $\overline{V}$ に対して、クリスタリン上にあげられることが保証され、$\mathcal{X}_{\overline{V},\mathrm{reg}-\mathrm{cris}}$ が空でないことが保証される。
• 与えられた条件下で $H^0(G_K, \mathrm{ad}(\overline{V})^0(\omega))$ の消失が成立し、非自明な自己ねじれの不在が保証される。
• 本結果は、Colmez, Kisin, Chenevier および著者の既存の定理を一般化し、すべての $d$ およびすべての $p$-進体 $K$ において密度結果を統合する。