[論文レビュー] Moduli of $p$-adic representations of a profinite group

Jorge António|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、代数閉体上の一意的で滑らかな、固有なスキーム $X$ に対して、エタール基本群 $\pi_1^{ ext{ét}}(X)$ の連続な $p$-進表現をパラメトライズする $Π$-解析的スタック $ρ\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$ を構成する。このスタックは、自然な導来強化を備えており、随伴表現のエタールコホロロジーを通じてその変形理論を実現する。これにより、デリーニの $p$-進局所系のモジュライに関する予想が満たされる。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth and proper scheme over an algebraically closed field. The purpose of the current text is twofold. First, we construct the moduli stack parametrizing rank $n$ continuous $p$-adic representations of the étale fundamental group $π_1^ extrm{ét}(X)$. Our construction realizes such object as a $\mathbb{Q}_p$-analytic stack, denoted $\mathrm{LocSys}_{p,n } (X)$. Secondly, we prove that $\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$ admits a canonical derived structure. This derived structure allow us to intrinsically recover the deformation theory of continuous $p$-adic representations, studied in [GV18]. Our proof of geometricity of $\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$ uses in an essential way the $\mathbb{Q}_p$-analytic analogue of Lurie-Artin representability, proved in [PY17].

研究の動機と目的

• 連続な $p$-進表現 $\pi_1^{\text{ét}}(X)$ のグローバルモジュライ空間を、デリーニの予想に従って構成すること。
• このモジュライ空間に、内在的な変形理論の制御を可能にする自然な導来構造を付与すること。
• プロエタール局所系を用いて、滑らかで固有なスキーム上の $p$-進局所系のモジュライスタックを $\mathbb{Q}_p$-解析的商スタックとして実現すること。
• モジュライスタックの余接複体とエタールコホロロジーの随伴表現との間の明確な関係を確立すること。
• 正の特性における滑らかで固有なスキーム上の $p$-進局所系を幾何学的に研究するための枠組みを提供すること。

提案手法

• アフィン $\mathbb{Q}_p$-空間 $A$ に対して、関手 $A \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathrm{cont}}(\pi_1^{\text{ét}}(X), \mathrm{GL}_n(A))$ を用いて、$\mathbb{Q}_p$-解析的スタックとしてのモジュライ関手 $\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$ を構成する。
• $\mathbb{Q}_p$-解析的版の Lurie-Artin 代表可能性理論を用いて、$\mathrm{LocSys}_{p,n}^\square(X)$ が $\mathbb{Q}_p$-解析的空間によって代表可能であることを証明する。
• $\mathrm{GL}_n(A)$ のインダクティブ・プロ構造を用いて、モジュライスタックを $\mathbf{GL}_n^{\mathrm{an}}$-共役作用による商として特定する。
• [BS13] の結果を応用して、点の族が $X$ 上のランク $n$ のプロエタール $A$-局所系と正確に一致することを保証し、幾何的整合性を確保する。
• $\infty$-圏における導来 $\mathbb{Q}_p$-アフィノイド空間の世界に、導来強化 $\mathrm{R}\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$ を構成する。
• 導来モジュライスタックの余接複体が $C^*_{\text{ét}}(X, \mathrm{Ad}(\rho))^\vee[-1]$ に自然に同型であることを示し、エタールコホロロジーと結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続な $p$-進表現 $\pi_1^{\text{ét}}(X)$ のグローバルモジュライスタックは、$\mathbb{Q}_p$-解析的設定において構成可能か？
• RQ2 このモジュライスタックは、その変形理論を捉える自然な導来強化を備えているか？
• RQ3 $p$-進表現の変形理論は、随伴表現のエタールコホロロジーとどのように関係しているか？
• RQ4 モジュライスタックは、群作用による $\mathbb{Q}_p$-解析的空間の商として実現可能か？
• RQ5 導来モジュライスタックは連続的かつニル完全的であり、良好な幾何的性質を有するか？

主な発見

• $\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$ は $\mathbb{Q}_p$-解析的スタックとして代表可能であり、滑らかなアトラス $\mathrm{LocSys}_{p,n}^\square(X)$ を持ち、$\mathbf{GL}_n^{\mathrm{an}}$-共役作用による商として実現される。
• $\mathrm{R}\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$ は存在し、連続的かつニル完全的であり、強固な幾何的性質を保証する。
• 点 $\rho$ における余接複体は、自然に $C^*_{\text{ét}}(X, \mathrm{Ad}(\rho))[-1]$ の双対に同型であり、コホロロジー的変形理論と明確な関係を確立する。
• $\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$ の点の族は、$X$ 上のランク $n$ のプロエタール $A$-局所系と正確に一致し、幾何的自然性が裏付けられる。
• この構成により、滑らかで固有なスキーム上の $p$-進エタール局所系のモジュライ空間の存在に関するデリーニの予想が実現される。
• $p$-進表現の変形理論は、導来構造を通じて内在的に回復され、[GV18] の結果を幾何的枠組みで一般化する。