[논문 리뷰] (2+1)D Noncommutative CP$^{N-1}$ Model

E. A. Asano, M. Gomes외 2명|arXiv (Cornell University)|2003. 07. 11.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 (2+1)-차원 비환류 CP^{N-1} 모델을 조사하여, 기본 장이 게이지 군의 왼쪽 기본 표현에서 변환할 경우, 1/N 전개의 다음 주요 순서까지 모델이 재정규화 가능하고 위험한 적외색 발산이 없음을 입증한다. 반면, 고도 표현에서는 게이지 장의 두점 함수와 자기에너지 보정에서 제곱형 적외색 발산이 나타나며, 이는 고차수에서 1/N 전개의 타당성을 위협한다.

ABSTRACT

We investigate possible extensions of the (2+1) dimensional $CP^{N-1}$ model to the noncommutative space. Up to the leading nontrivial order of 1/N, we prove that the model restricted to the left fundamental representation of the gauge group is renormalizable and does not have dangerous infrared divergences. In contrast, if the basic field $ϕ$ transforms in accord with the adjoint representation, infrared singularities are present in the two point function of the auxiliary gauge field and also in the leading correction to the self-energy of the $ϕ$ field. These infrared divergences may produce nonintegrable singularities leading at higher orders to a breakdown of the 1/N expansion. Gauge invariance of the renormalization procedure is also discussed.

연구 동기 및 목표

• 다른 게이지 군 표현에서 (2+1)-차원 비환류 CP^{N-1} 모델의 재정규화 가능성과 적외색 행동을 조사하기.
• 비환류 양자장 이론에서, 특히 적외색/초월색 혼합이 존재할 경우 1/N 전개가 여전히 타당한지 여부를 판단하기.
• 비환류 위상과 평면형 대 비평면형 도형이 초월색 및 적외색 발산에 미치는 영향을 분석하기.
• 비환류 설정에서 재정규화 절차에 대한 게이지 불변성의 영향을 검토하기.
• 특히 발산의 성격을 비교하기 위해 기본(왼쪽) 표현과 고도 표현 간의 모델 행동을 분석하기.

제안 방법

• 1/N 전개를 다음 주요 순서까지 적용하여, 비환류 CP^{N-1} 모델에서 보조기구 및 꼬리의 양자 보정을 분석한다.
• 차원 정규화를 사용하여 초월색 발산을 평가하고, BPHZ 빼기 기법을 통해 발산의 상쇄 여부를 점검한다.
• 비환류 위상 인자에 따라 평면형과 비평면형 도형을 구분하는 피카르 도형의 명시적 계산을 포함한다.
• 도형적 항등식과 운동량 공간에서의 테일러 전개를 사용하여, 특히 겹치는 부분 그래프의 경우 발산의 상쇄를 입증한다.
• 비환류 위상 인자 exp[i(p₁∧p₂ − p₁∧p₃ + p₂∧p₃)]를 도형을 합할 때 인수분해하여 적외색 행동을 분석한다.
• 게이지 군의 기본(왼쪽) 표현과 고도 표현을 모두 분석하여, 그들의 발산 구조를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 장이 게이지 군의 왼쪽 기본 표현에서 변환할 경우, 비환류 (2+1)차원 CP^{N-1} 모델은 재정규화 가능한가?
• RQ2 장이 고도 표현에서 변환할 경우, 보조 게이지 장의 두점 함수와 스칼라 장 자기에너지에 위험한 적외색 발산이 나타나는가?
• RQ3 비환류 양자장 이론에서 BPHZ 기법을 사용하여 1/N 전개의 초월색 발산을 체계적으로 상쇄시킬 수 있는가?
• RQ4 다른 비환류 위상 인자를 가진 비평면형 도형은 모델의 재정규화 및 적외색 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 비환류 이론에서 전하 공명 대칭의 부재는 공명되지 않은 새로운 발산 기여항을 초래하는가, 그 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• 스칼라 장이 왼쪽 기본 표현에서 변환할 경우, 비환류 CP^{N-1} 모델은 1/N 전개의 다음 주요 순서까지 재정규화 가능하고 위험한 적외색 발산이 없다.
• 기본 표현에서는 보조기구의 고차항 기여가 새로운 초월색 발산을 유도하지 않으며, 대칭성과 로렌츠 불변성에 의해 선형 발산이 쌍으로 상쇄된다.
• 질량 보정항 삽입은 BPHZ 빼기 기법에서 상쇄를 보장하는 도형적 항등식에 의해 쌍으로 상쇄된다.
• 세 번째 루프 도형 G에 대해, 모든 상쇄되지 않은 진폭의 합은 정수이므로, 겹치는 발산 부분 그래프가 있더라도 정확히 상쇄된다.
• 반대 전하 흐름을 가진 비평면형 도형은 개별적으로 선형 적외색 발산을 보이지만, 위상 인자 인수분해와 일차 테일러 전개 덕분에 합산 시 상쇄된다.
• 고도 표현에서는 게이지 장의 두점 함수와 스칼라 자기에너지에 제곱형 적외색 발산이 나타나며, 이는 고차수에서 1/N 전개의 타당성을 위협할 수 있다.