[논문 리뷰] A Cole-Hopf transformation based fourth-order multiple-relaxation-time lattice Boltzmann model for the coupled Burgers' equations

Ying Chen, Xi Liu외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 09. 06.

Lattice Boltzmann Simulation StudiesEngineering인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비선형 대류 항을 제거하기 위해 콜-홉프 변환을 적용하여 d차원 결합 버거스 방정식을 위한 네째계수 정확도를 갖는 다중이완시간 라티스 보울츠만 모델을 제안한다. 이는 보조 변수 θ에 대한 확산 방정식으로 시스템을 변환함으로써 이루어지며, 수정된 맥스웰 반복 분석과 비평형 분포 함수 재구성 기법을 통해 네째계수 공간 정확도를 달성한다. 다양한 시험 케이스에서 일관된 네째계수 수렴 속도가 수치적으로 검증되었다.

ABSTRACT

In this work, a Cole-Hopf transformation based fourth-order multiple-relaxation-time lattice Boltzmann (MRT-LB) model for d-dimensional coupled Burgers' equations is developed. We first adopt the Cole-Hopf transformation where an intermediate variable θis introduced to eliminate the nonlinear convection terms in the Burgers' equations on the velocity u=(u_1,u_2,...,u_d). In this case, a diffusion equation on the variable θcan be obtained, and particularly, the velocity u in the coupled Burgers' equations is determined by the variable θand its gradient term ablaθ. Then we develop a general MRT-LB model with the natural moments for the d-dimensional transformed diffusion equation and present the corresponding macroscopic finite-difference scheme. At the diffusive scaling, the fourth-order modified equation of the developed MRT-LB model is derived through the Maxwell iteration method. With the aid of the free parameters in the MRT-LB model, we find that not only the consistent fourth-order modified equation can be obtained, but also the gradient term $ ablaθ$ can be calculated locally by the non-equilibrium distribution function with a fourth-order accuracy, this indicates that theoretically, the MRT-LB model for $d$-dimensional coupled Burgers' equations can achieve a fourth-order accuracy in space. Finally, some simulations are conducted to test the MRT-LB model, and the numerical results show that the proposed MRT-LB model has a fourth-order convergence rate, which is consistent with our theoretical analysis.

연구 동기 및 목표

• 비선형 대류와 결합성으로 인해 일반적으로 도전적인 d차원 결합 버거스 방정식을 위한 고차수, 안정적인 라티스 보울츠만 모델을 개발하기 위해.
• 기존의 단일이완시간 및 표준 MRT-LB 모델이 이러한 방정식에 대해 수치적 불안정성과 두 번째계수 정확도의 한계를 가지므로 이를 극복하기 위해.
• 코흐-홉프 변환을 활용하여 비선형 시스템을 선형 확산 방정식으로 변환함으로써 해의 고차수 정확도를 가능하게 하기 위해.
• 자유 이완 파rameter를 가진 다중이완시간 라티스 보울츠만 프레임워크를 통해 해 θ와 그 기울기 ∇θ 양쪽 모두에서 네째계수 공간 정확도를 달성하기 위해.
• 다양한 격자 해상도와 차원(d ≥ 1)에서의 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 정확도를 검증하기 위해.

제안 방법

• d차원 결합 버거스 방정식에 코흐-홉프 변환을 적용하여 비선형 대류 항을 분리하고, 보조 변수 θ를 도입함으로써 선형 확산 방정식으로 시스템을 단순화한다.
• 자연적 모멘트를 사용하여 변환된 확산 방정식에 대한 다중이완시간(MRT-LB) 모델을 구축함으로써, 안정성과 정확도 향상을 위한 이완 파rameter의 독립적 제어를 가능하게 한다.
• 확산 척도에서 MRT-LB 모델로부터 매크로스코픽 유한차분 스킴을 유도하여 기초 편미분방정식(PDE)과 일致함을 보장한다.
• 맥스웰 반복 방법을 사용한 네째계수 수정된 방정식 분석을 수행하여 주요 오차 항을 유도하고 네째계수 정확도를 달성하기 위한 조건을 규명한다.
• 특정 이완 파rameter 조건을 만족할 경우, 비평형 분포 함수를 활용하여 기울기 항 ∇θ를 네째계수 공간 정확도로 재구성한다.
• 다양한 격자 해상도에서 d차원 케이스(d = 1, 2, 3, 4)에 대해 수치 시뮬레이션을 구현하여 수렴 속도를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코흐-홉프 변환을 사용하여 d차원 결합 버거스 방정식에 대해 네째계수 정확도를 갖는 라티스 보울츠만 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ2 MRT-LB 프레임워크는 적절한 이완 파aram터 조정을 통해 해 θ와 그 기울기 ∇θ 양쪽 모두에서 네째계수 공간 정확도를 달성할 수 있는가?
• RQ3 제안된 모델은 다양한 공간 차원(d ≥ 1)과 격자 해상도에서 안정성과 고차수 수렴을 유지할 수 있는가?
• RQ4 모델의 네째계수 정확도가 속도장 u의 모든 성분과 보조 변수 θ에 대해 일관되게 유지되는가?
• RQ5 비평형 분포 함수는 MRT-LB 프레임워크에서 ∇θ의 네째계수 재구성에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 제안된 MRT-LB 모델은 d = 1에서 4까지의 차원에서 보조 변수 θ와 속도장 u의 모든 성분에 대해 일관된 네째계수 공간 수렴 속도를 달성한다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 다양한 변수와 격자 세분화에서 수렴 지수가 약 4.05에서 4.23 사이로 변동하는 네째계수 수렴 속도가 확인되었다.
• 이완 파aram터가 특정 조건(Eq. 37)을 만족할 경우, 비평형 분포 함수를 활용하여 ∇θ를 네째계수 정확도로 재구성할 수 있다.
• 모델은 다양한 공간 차원에서 안정성과 고차수 정확도를 유지하며, 다중비선형 PDE에 대한 MRT-LB 접근법의 일반성(유니버설리티)을 입증한다.
• 네째계수 수정된 방정식 분석을 통해 주요 절삭 오차가 O(Δx⁴) 차수임을 확인하여 이론적 정확도를 검증한다.
• 격자 해상도가 넓은 범위(예: Δx = 0.2에서 Δx = 0.025)에서 상대 L2 오차가 예상한 바와 같이 Δx⁴ 비례로 감소함으로써 수렴 속도가 뚜렷하게 유지됨을 확인하였다.