[논문 리뷰] A hybrid stochastic differential reinsurance and investment game with bounded memory

Yanfei Bai, Zhongbao Zhou외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 22.

Insurance and Financial Risk Management참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 한 명의 재보험사(리더)와 두 명의 경쟁 보험사(팔로워)를 포함하는 하이브리드 스토케스틱 미분 재보험 및 투자 게임을 제안하며, 이들의 상호작용을 스택엘베르그 미분 게임과 비제로섬 스토케스틱 미분 게임을 통해 모델링한다. 유한한 기억 효과는 스토케스틱 지연 미분 방정식(SDDEs)을 통해 반영되며, 후방 귀납법과 동적 프로그래밍을 이용해 명시적인 균형 전략을 유도한다. 주요 발견은 지연 효과가 지연 길이에 따라 투자를 억제하거나 자극할 수 있으며, 경쟁은 재보험 수요와 보험료 가격을 감소시킨다는 것이다.

ABSTRACT

This paper investigates a hybrid stochastic differential reinsurance and investment game between one reinsurer and two insurers, including a stochastic Stackelberg differential subgame and a non-zero-sum stochastic differential subgame. The reinsurer, as the leader of the Stackelberg game, can price reinsurance premium and invest its wealth in a financial market that contains a risk-free asset and a risky asset. The two insurers, as the followers of the Stackelberg game, can purchase proportional reinsurance from the reinsurer and invest in the same financial market. The competitive relationship between two insurers is modeled by the non-zero-sum game, and their decision making will consider the relative performance measured by the difference in their terminal wealth. We consider wealth processes with delay to characterize the bounded memory feature. This paper aims to find the equilibrium strategy for the reinsurer and insurers by maximizing the expected utility of the reinsurer's terminal wealth with delay and maximizing the expected utility of the combination of insurers' terminal wealth and the relative performance with delay. By using the idea of backward induction and the dynamic programming approach, we derive the equilibrium strategy and value functions explicitly. Then, we provide the corresponding verification theorem. Finally, some numerical examples and sensitivity analysis are presented to demonstrate the effects of model parameters on the equilibrium strategy. We find the delay factor discourages or stimulates investment depending on the length of delay. Moreover, competitive factors between two insurers make their optimal reinsurance-investment strategy interact, and reduce reinsurance demand and reinsurance premium price.

연구 동기 및 목표

• 재보험사가 리더이고 두 보험사가 경쟁하는 현실적인 재보험 및 투자 게임을 모델링하여 시장의 영향력과 전략적 상호작용을 반영한다.
• 과거 성과가 현재 결정에 영향을 미치는 것을 반영하기 위해 스토케스틱 지연 미분 방정식(SDDEs)을 사용하여 자산 과정에 유한한 기억 효과를 통합한다.
• 지연를 고려한 종료 자산의 기대 효용을 최대화함으로써 재보험사와 보험사의 명시적 균형 전략을 도출한다.
• 지연 매개변수와 경쟁 요인의 영향을 최적의 재보험 및 투자 결정에 분석한다.
• 제시된 하이브리드 게임 프레임워크 하에서 유도된 전략의 최적성 확인을 위한 검증 정리(verification theorem)를 수립한다.

제안 방법

• 재보험사가 리더인 스토케스틱 스택엘베르그 미분 게임과 보험사들이 경쟁자인 비제로섬 스토케스틱 미분 게임을 조합한 하이브리드 게임 구조를 수립한다.
• 지연 가중치와 시간 지연를 통해 유한한 기억 효과를 반영하기 위해 스토케스틱 지연 미분 방정식(SDDEs)을 사용하여 자산 과정을 모델링한다.
• 모든 플레이어의 명시적 균형 전략과 가치 함수를 유도하기 위해 후방 귀납법과 동적 프로그래밍을 적용한다.
• 지연 및 상대적 성과 고려 조건 하에서 최적화 문제를 해결하기 위해 헤밀토니안-자코비-벨만(HJB) 방정식 프레임워크를 사용한다.
• 위험 회피와 상대적 성과 지표를 통합하여 재보험사와 보험사의 연관된 HJB 방정식을 풀어 균형 전략을 도출한다.
• 지정된 게임 및 지연 구조 하에서 유도된 전략의 최적성 확인을 위한 검증 정리를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자산 과정에 지연를 통해 모델링된 유한한 기억 효과가 재보험사와 보험사의 최적 재보험 및 투자 전략에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 지연 길이와 지연 가중치가 균형 보험료 가격 설정과 재보험 수요에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 두 보험사 간의 경쟁(상대적 성과로 측정)이 그들의 재보험-투자 전략과 재보험사의 가격 책정에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 지연 요소가 투자를 어떻게 자극하거나 억제하는가? 이는 지연 길이에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 재보험사와 보험사의 위험 회피 매개변수는 전략적 상호작용과 균형 결과에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 두 보험사의 최적 재보험-투자 전략은 경쟁적 역학으로 인해 상호 영향을 미치며, 군집 효과(herd effect)를 보인다.
• 각 보험사의 최적 재보험 수요는 재보험사의 최적 보험료 전략에 직접적으로 의존하여 피드백 루프를 형성한다.
• 보험사 간의 경쟁 요인은 재보험 수요와 보험료 가격을 모두 감소시킨다.
• 지연 요소는 지연 길이에 따라 투자를 억제하거나 자극할 수 있다: 짧은 지연에서는 투자를 자극하고, 긴 지연에서는 더 보수적인 투자 전략을 촉진한다.
• 지연 가중치가 균형 전략에 미치는 영향은 비단조화적이며 지연 길이에 따라 달라진다: 긴 지연에서는 높은 지연 가중치가 투자 및 재보험 전략을 감소시키지만, 짧은 지연에서는 반대의 효과를 가진다.
• 긴 지연일 경우 재보험사의 최적 보험료 전략은 자기 자신의 지연 가중치와 정적 상관관계를 가지지만, 짧은 지연일 경우 부정적 상관관계를 가진다.