[논문 리뷰] A new operational interpretation of relative entropy and trace distance between quantum states

Anurag Anshu, Rahul Jain외 3명|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 04.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 29인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 앨리스와 보브가 얽힘을 공유하는 통신 프로토콜을 통해 얽힘을 이용한 양자 상대 엔트로피의 새로운 운영적 해석을 제시한다. 이 프로토콜에서는 앨리스가 보브에게 O((c+1)/ε⁴) 비트를 전송함으로써, 보브가 앨리스의 상태와 유사한 상태 ρ′을 준비할 수 있으며, 이때 성능 지표인 편집도(fidelity)는 1−ε 이상을 확보한다. 여기서 c는 두 상태 간의 상대 엔트로피 S(ρ||σ)를 의미한다. 또한 이 프로토콜은 추적 거리(trace distance)를 기반으로 한 양자 상관 샘플링 프로토콜을 제공하여, 양자 통신 복잡도 이론에서 직접합 정리(direct-sum theorem)에 대한 새로운 증명을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we present a new operational interpretation of relative-entropy between quantum states in the form of the following protocol. P: Alice gets to know the eigen-decomposition of a quantum state $ ho$. Bob gets to know the eigen-decomposition of a quantum state $\sigma$. Both Alice and Bob know $c= S( ho || \sigma)$, the relative entropy between $ ho$ and $\sigma$ and an error parameter $\epsilon$. Alice and Bob use shared entanglement and after communication of $O((c +1)/\epsilon^4)$ bits from Alice to Bob, Bob ends up with a quantum state $ ho'$ such that $F( ho, ho') \geq 1 - \epsilon$, where $F$ represents fidelity. This result can be considered as a non-commutative generalization of a result due to Braverman and Rao [2011] where they considered the special case when $ ho$ and $\sigma$ are classical probability distributions. We use protocol P to obtain an alternate proof of a direct-sum result for entanglement assisted quantum one-way communication complexity for all relations, which was first shown by Jain, Radhakrishnan and Sen [2005, 2008]. We also present a variant of protocol in which Bob has some side information about the state with Alice. We show that in such a case, the amount of communication can be further reduced, based on the side information that Bob has. Our second result provides a new operational meaning to trace distance between quantum states in the form of a protocol which can be viewed as a quantum analogue of the classical correlated-sampling protocol, which is widely used, for example by Holenstein [2007] in his proof of a parallel-repetition theorem for two-player one-round games. Recently Dinur, Steurer and Vidick [2013] have shown another version of a quantum correlated sampling protocol different from our protocol, and used it in their proof of a parallel-repetition theorem for two-prover one-round entangled projection games.

연구 동기 및 목표

• 상대 오차가 제한된 통신 프로토콜을 통해 양자 상대 엔트로피의 새로운 운영적 해석을 제공하는 것.
• 추적 거리를 상태 유사도 측정 기준으로 삼아, 고전적 상관 샘플링 결과를 양자 영역으로 일반화하는 것.
• 얽힘 지원 양자 일방 통신 복잡도에서의 직접합 정리에 대한 대체 증명을 제공하는 것.
• 보브가 앨리스의 상태에 대해 부가 정보를 보유할 경우, 프로토콜에서의 통신 비용이 어떻게 감소하는지 탐색하는 것.
• 평행 반복을 포함한 증명에 유용한, 고전적 상관 샘플링의 양자 동반체를 수립하는 것.

제안 방법

• 앨리스와 보브는 얽힘을 공유하고, 앨리스가 보브에게 O((c+1)/ε⁴) 비트의 고전적 정보를 전송하는 프로토콜을 사용한다. 여기서 c = S(ρ||σ)는 두 상태 간의 상대 엔트로피이다.
• 이 프로토콜은 보브가 상태 ρ′을 준비하도록 보장하며, 이때 편집도 F(ρ, ρ′) ≥ 1−ε를 확보한다. 이는 양자 상태 준비 및 측정 기법을 활용한다.
• 보브가 앨리스의 상태에 대한 부가 정보를 보유하는 경우에도 프로토콜를 확장하여, 부가 정보와 상태 간 상호정보량에 따라 통신 비용을 감소시킬 수 있다.
• 이 방법은 편집도 한계 및 얽힘 지원 프로토콜을 포함한 양자 정보 이론 도구를 사용하여, 원하는 상태 근사에 도달한다.
• 추적 거리를 정확도 측정 기준으로 삼는 양자 상관 샘플링 프로토콜을 구성하였으며, 이는 복잡도 이론에서 사용되는 고전적 상관 샘플링과 유사하다.
• 이 프로토콜은 얽힘 지원 일방 통신 복잡도에서의 직접합 결과를 재증명하는 데 응용되었으며, 상대 엔트로피의 운영적 의미를 활용하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 상태 간 상대 엔트로피가 상대 오차가 제한된 통신 프로토콜을 통해 운영적으로 해석될 수 있는가?
• RQ2 보브가 앨리스의 상태에 대해 부가 정보를 보유할 경우, 앨리스의 상태와 유사한 상태를 준비하는 데 드는 통신 비용은 어떻게 영향을 받는가?
• RQ3 추적 거리를 정확도 측정 기준으로 삼는 양자 상관 샘플링 프로토콜을 구성할 수 있는가?
• RQ4 이 프로토콜이 얽힘 지원 양자 통신 복잡도에서의 직접합 정리에 대한 새로운 증명을 제공하는가?
• RQ5 이 프로토콜은 딘우르, 스투어, 비딕 등이 제안한 다른 양자 상관 샘플링 구성과 비교해 어떻게 다를까?

주요 결과

• 프로토콜은 O((c+1)/ε⁴) 비트의 통신으로 편집도 F(ρ, ρ′) ≥ 1−ε를 달성하며, 여기서 c = S(ρ||σ)는 상태 간 상대 엔트로피이다.
• 통신 비용은 양자 상태의 차원과 무관하며, 상대 엔트로피와 오차 파rameter에만 의존한다.
• 보브가 앨리스의 상태에 대한 부가 정보를 보유할 경우, 부가 정보와 상태 간 상호정보량에 따라 통신 비용을 감소시킬 수 있다.
• 이 프로토콜은 추적 거리에 대한 새로운 운영적 의미를 부여하며, 고전적 상관 샘플링과 유사하다.
• 이 프로토콜은 얽힘 지원 일방 통신 복잡도에서의 직접합 결과에 대한 대체 증명을 제공하여, 이전 결과를 새로운 정보 이론적 접근을 통해 확인한다.
• 이 접근은 양자 정보 측정과 통신 복잡도 사이의 다리를 놓으며, 양자 프로토콜 분석을 위한 새로운 도구를 제공한다.