[논문 리뷰] Application of Multiple Fourier-Legendre Series to Implementation of Strong Exponential Milstein and Wagner-Platen Methods for Non-Commutative Semilinear Stochastic Partial Differential Equations

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 40인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 다중성적 추적 클래스 노이즈를 가진 비가환 비선형 확률 편미분 방정식(SPDE)에 대해 강한 지수형 밀스타인 및 워거-플라텐 스킴의 새로운 구현을 제시한다. 다중 푸리에-레지온드 급수를 활용하여 무한차원 $Q$-와이너 과정에 대한 반복 이토 적분(다중도 1~3)의 평균제곱근 근사치를 도출함으로써, 가환성 조건 없이도 고차수 수렴($1.0 - \varepsilon$ 및 $1.5 - \varepsilon$)을 달성한다.

ABSTRACT

The article is devoted to the application of multiple Fourier-Legendre series to implementation of strong exponential Milstein and Wagner-Platen methods for non-commutative semilinear stochastic partial differential equations with multiplicative trace class noise. These methods have strong orders of convergence $1.0-\varepsilon$ and $1.5-\varepsilon$ correspondingly (here $\varepsilon$ is an arbitrary small positive real number) with respect to the temporal discretization. The theorem on mean-square convergence of approximations of iterated stochastic integrals of multiplicities 1 to 3 with respect to the infinite-dimensional $Q$-Wiener process is formulated and proved. The results of the article can be applied to implementation of exponential Milstein and Wagner-Platen methods for non-commutative semilinear stochastic partial differential equations with multiplicative trace class noise.

연구 동기 및 목표

• 비가환 비선형 SPDE에서 무한차원 $Q$-와이너 과정에 대한 반복 이토 적분(다중도 1~3)을 수치적으로 근사하는 데 도전하는 것.
• 이전 방법들이 고차수 스킴를 위해 가환성 조건을 필요로 했던 한계를 극복하는 것.
• 유한차원 $Q$-와이너 과정 근사치와 일반화된 다중 푸리에 급수를 조합하여 이러한 적분을 근사하는 평균제곱수렴 프레임워크를 개발하는 것.
• 일반적인 비가환 조건 하에서 다중성적 추적 클래스 노이즈를 가진 SPDE에 대해 강한 지수형 밀스타인 및 워거-플라텐 스킴을 구현할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 스칼라 브라운 운동에 대한 반복 이토 적분을 근사하기 위해 일반화된 다중 푸리에-레지온드 급수를 활용하고, 이를 무한차원 $Q$-와이너 과정으로 확장한다.
• 유한차원 $Q$-와이너 과정 근사에서 발생하는 오차와 반복 이토 적분 근사에서 발생하는 오차로 구성된 이중 성분 오차 분해를 도입한다.
• 다중도 1~3의 적분에 대해 일반화된 다중 푸리에 급수 이론을 적용하여 두 번째 오차 성분을 제어한다.
• 첫 번째 오차 성분(즉, $Q$-와이너 과정의 절단에서 기인하는 오차)에 대한 새로운 근사치를 유한차원 근사와 이전의 다중 푸리에-레지온드 급수 결과를 조합한다.
• 연산자 노름과 $Q$의 고유값 감쇠율에 대한 경계를 이용해 근사치의 평균제곱수렴을 확립한다.
• 오차 경계를 $C(T-t)^3 (\sup_{i \in J \setminus J_M} \lambda_i)^{2\alpha}$ 형태로 유도하여, 절단 수준 $M$이 증가함에 따라 수렴함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 $Q$-와이너 과정에 대한 반복 이토 적분(다중도 1~3)은 비가환 SPDE에서 어떻게 평균제곱근 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 $Q$-와이너 과정이 유한차원으로 절단되었을 때 발생하는 근사 오차의 구조는 어떠한가?
• RQ3 일반화된 다중 푸리에-레지온드 급수 방법은 $Q$-와이너 과정 근사의 첫 번째 오차 성분을 다룰 수 있는가?
• RQ4 비가환 SPDE에 대해 추적 클래스 노이즈를 가진 지수형 밀스타인 및 워거-플라텐 스킴의 평균제곱근 수렴을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 오차 경계는 시간 간격의 길이와 공분산 연산자 $Q$의 고유값 감쇠율에 따라 어떻게 척도화되는가?

주요 결과

• 논문은 무한차원 $Q$-와이너 과정에 대한 반복 이토 적분(다중도 1~3) 근사치의 평균제곱근 수렴에 관한 정리를 확립한다.
• 점단된 $Q$-와이너 과정에서 기인하는 오차 경계는 $O((T-t)^3 (\sup_{i \in J \setminus J_M} \lambda_i)^{2\alpha})$로 나타나며, 이는 절단 수준 $M$이 증가함에 따라 수렴함을 보여준다.
• 지수형 밀스타인 스킴은 강한 수렴 순서 $1.0 - \varepsilon$를, 워거-플라텐 스킴은 $1.5 - \varepsilon$를 달성하며, 여기서 $\varepsilon > 0$은 임의의 양수이다.
• 이 방법은 SPDE 계수에 대한 가환성 조건이 필요 없이 고차수 스킴의 구현을 가능하게 한다.
• 수렴 분석은 고유값 $\lambda_i$의 감쇠로 인해 절단 수준 $M$이 증가함에 따라 근사 오차가 감소함을 확인한다.
• 이론적 프레임워크는 다중 푸리에-레지온드 급수를 비가환 비선형 SPDE의 효율적이고 정확한 수치적 해법에 활용할 수 있음을 뒷받침한다.