[논문 리뷰] Application of the Fourier Method to the Mean-Square Approximation of Iterated Ito and Stratonovich Stochastic Integrals

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 23인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 다중 이토 및 스트라토노비치 확률적 적분을 위한 푸리에 기반 평균 제곱 오차 근사 방법을 제시한다. 이는 다중 푸리에-레지앙드 및 삼각함수 급수 전개를 사용하며, 평균 제곱 오차의 정확한 및 근사적인 표현을 도출하여, 제어 가능한 근사 오차를 갖는 이토 확률미분방정식의 정확한 수치적 적분을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The article is devoted to the mean-square approximation of multiple Ito and Stratonovich stochastic integrals in the context of numerical integration of Ito stochastic differential equations. The expansion of multiple Ito stochastic integrals of any arbitrary multiplicity $k$ and expansions of multiple Stratonovich stochastic integrals of 1-4 multiplicities using multiple Fourier-Legendre and multiple trigonometric Fourier series are obtained. The exact and approximate expressions for the mean-square error of approximation are derived.

연구 동기 및 목표

• 확률미분방정식(SDE) 수치적 적분에서 다중 이토 및 스트라토노비치 확률적 적분에 대한 체계적인 평균 제곱 근사 방법 개발
• 기존의 근사 기법을 확장하여 이토 적분의 임의의 다중성 수준 k와 스트라토노비치 적분의 다중성 수준 1~4를 다룰 수 있도록 함
• 근사의 평균 제곱 오차에 대한 정확한 및 근사적인 표현을 유도하여 수치적 방법에서 오차 제어 가능

제안 방법

• 임의의 다중성 수준 k에 대한 다중 이토 확률적 적분을 표현하기 위해 다중 푸리에-레지앙드 급수 전개를 활용
• 다중성 수준 1~4의 다중 스트라토노비치 확률적 적분을 근사하기 위해 다중 삼각함수 푸리에 급수를 적용
• 급수 전개에 기반한 근사의 평균 제곱 오차에 대한 정확한 표현을 도출
• 다양한 다중성 수준에서 근사의 타당성과 정확성을 보장하기 위해 수렴성 분석을 적용
• 이토 SDE 수치적 방법에 푸리에 급수 전개를 통합하여 고차수의 약한 근사 방법을 가능하게 함

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 다중성 수준 k의 임의의 다중 이토 확률적 적분을 푸리에 급수를 통해 제어 가능한 평균 제곱 오차로 근사할 수 있는가?
• RQ2 삼각함수 푸리에 급수 전개를 통해 다중성 수준 1~4의 다중 스트라토노비치 확률적 적분의 구조와 수렴 행동은 어떻게 되는가?
• RQ3 이러한 확률적 적분의 푸리에 기반 근사에서 평균 제곱 오차에 대한 정확한 및 근사적인 표현은 무엇인가?
• RQ4 SDE 수치적 적분에서 근사 정확도와 계산 효율성 측면에서 푸리에-레지앙드 급수와 삼각함수 급수는 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 이 방법은 근사의 평균 제곱 오차에 대한 정확한 표현을 제공하여, 이토 SDE 수치적 해에서 정밀한 오차 제어가 가능하다.
• 다중성 수준 k의 다중 이토 확률적 적분이 분석적으로 유도된 오차 한계를 갖는 다중 푸리에-레지앙드 급수 전개를 통해 성공적으로 전개된다.
• 다중성 수준 1~4의 다중 스트라토노비치 확률적 적분이 다중 삼각함수 푸리에 급수를 통해 정확하게 근사된다.
• 유도된 평균 제곱 오차 표현을 통해 수렴 속도가 보장된 고차수의 약한 수치적 방법을 구성할 수 있다.
• 이 접근법은 고정밀도 적분이 필요한 확률적 시스템을 위한 효율적이고 정확한 수치적 방법 개발을 지원한다.