[논문 리뷰] Beyond Bidimensionality: Parameterized Subexponential Algorithms on Directed Graphs

Frederic Dorn, Fedor V. Fomin외 3명|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 06.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 25인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 방향 그래프에서 기본적인 문제에 대한 처음으로 파arameterized subexponential 알고리즘을 제시하며, 커널라이제이션, 트리너비 기반 동적 프로그래밍, Baker 유형의 레이어링을 결합한 새로운 기법을 사용한다. 이는 기저가 고정된 apex 그래프를 미니처로 포함하지 않는 방향 그래프의 경우 $k$-Leaf Out-Branching 및 $k$-Internal Out-Branching 문제에 대해 $2^{\mathcal{O}(\sqrt{k}\log k)}n^{\mathcal{O}(1)}$ 시간 복잡도를 달성하며, 비방향 그래프와 비bidimensionality 이론을 초월하여 subexponential parameterized 알고리즘을 확장한다.

ABSTRACT

We develop two different methods to achieve subexponential time parameterized algorithms for problems on sparse directed graphs. We exemplify our approaches with two well studied problems. For the first problem, {\sc $k$-Leaf Out-Branching}, which is to find an oriented spanning tree with at least $k$ leaves, we obtain an algorithm solving the problem in time $2^{O(\sqrt{k} \log k)} n+ n^{O(1)}$ on directed graphs whose underlying undirected graph excludes some fixed graph $H$ as a minor. For the special case when the input directed graph is planar, the running time can be improved to $2^{O(\sqrt{k})}n + n^{O(1)}$. The second example is a generalization of the {\sc Directed Hamiltonian Path} problem, namely {\sc $k$-Internal Out-Branching}, which is to find an oriented spanning tree with at least $k$ internal vertices. We obtain an algorithm solving the problem in time $2^{O(\sqrt{k} \log k)} + n^{O(1)}$ on directed graphs whose underlying undirected graph excludes some fixed apex graph $H$ as a minor. Finally, we observe that for any $ε>0$, the {\sc $k$-Directed Path} problem is solvable in time $O((1+ε)^k n^{f(ε)})$, where $f$ is some function of $\ve$. Our methods are based on non-trivial combinations of obstruction theorems for undirected graphs, kernelization, problem specific combinatorial structures and a layering technique similar to the one employed by Baker to obtain PTAS for planar graphs.

연구 동기 및 목표

• 비bidimensionality 이론의 한계를 극복하면서 비방향 그래프에서의 subexponential parameterized 알고리즘을 방향 그래프로 확장하는 것.
• 그래프 미니처 이론이 아직 발달하지 않은 방향 그래프에 적용 가능한 새로운 알고리즘 기법을 개발하는 것.
• 희박한 방향 그래프에서 $k$-Leaf Out-Branching 및 $k$-Internal Out-Branching 문제를 subexponential 시간 내에 해결하는 것.
• 기저가 $H$-minor-free 또는 apex-minor-free 구조를 가진 방향 그래프에서도 subexponential 알고리즘이 가능하다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 입력을 트리너비가 유한한 하위선형 크기의 인스턴스로 줄이기 위해 커널라이제이션을 적용한다.
• 평면 그래프의 Baker의 PTAS에 영감을 얻은 레이어링 기법을 사용하여 그래프를 트리너비가 유한한 부분그래프로 분해한다.
• $H$-minor-free 그래프의 격자 미니처 정리를 활용하여 트리너비를 매개변수 $k$에 따라 유계로 제한한다.
• 트리 분해의 너비가 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$인 데 기반한 동적 프로그래밍을 통해 후보 부분그래프의 집합을 구성한다.
• 커널라이제이션과 트리너비가 유한한 부분그래프 위의 동적 프로그래밍을 조합하여 subexponential 실행 시간을 달성한다.
• $H$-minor-free 그래프에서 트리너비에 대한 상수 요소 근사치를 사용하여 트리 분해를 효율적으로 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비bidimensionality 이론의 범위를 초월하여 방향 그래프 문제에 대해 subexponential parameterized 알고리즘을 개발할 수 있는가?
• RQ2 기저가 $H$-minor-free인 방향 그래프에서 $k$-Leaf Out-Branching 문제에 대해 subexponential 시간 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ3 기저가 고정된 apex 그래프를 미니처로 포함하지 않는 방향 그래프에서 $k$-Internal Out-Branching 문제를 subexponential 시간 내에 해결할 수 있는가?
• RQ4 완성된 방향 그래프 미니처 이론이 부족한 상황에서 subexponential 알고리즘을 방향 그래프로 확장하기 위해 어떤 기법을 사용할 수 있는가?

주요 결과

• $k$-Leaf Out-Branching 문제는 기저가 $H$-minor-free인 방향 그래프에서 $2^{\mathcal{O}(\sqrt{k}\log k)}n^{\mathcal{O}(1)}$ 시간 알고리즘을 갖는다.
• 평면 방향 그래프의 경우 더 강력한 구조적 유계 덕분에 실행 시간이 $2^{\mathcal{O}(\sqrt{k})}n^{\mathcal{O}(1)}$로 향상된다.
• $k$-Internal Out-Branching 문제는 기저가 apex 그래프인 $H$인 방향 그래프에서 $2^{\mathcal{O}(\sqrt{k}\log k)}+n^{\mathcal{O}(1)}$ 시간 내에 해결 가능하다.
• 모든 $\varepsilon > 0$에 대해, $k$-Directed Path 문제는 기저가 $H$-minor-free인 그래프에서 $\mathcal{O}((1+\varepsilon)^k n^{f(\varepsilon)})$ 시간 내에 해결할 수 있다.
• 제안된 방법은 커널라이제이션, 트리너비 기반 동적 프로그래밍, Baker 유형의 레이어링을 조합하여 방향 그래프에서 subexponential 시간을 달성한다.