[논문 리뷰] Commuting Local Hamiltonian Problem on 2D beyond qubits

Sandy Irani, Jiaqing Jiang|arXiv (Cornell University)|2023. 09. 10.

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 큐비트를 초월하는 2차원 시스템에서 상호작용하는 국소 해밀토니안의 복잡도를 해결하며, 2D 격자에서의 큐트리플 CLH 문제는 비구성적 증명을 통해 NP에 속함을 증명한다. 또한 2D 격자에서의 인수분해된 CLH들—큐딧 차원에 관계없이—는 큐비트 스테이빌라이저 해밀토니안의 직접합과 동치이며, 이는 NP에 속함을 의미한다. 이러한 결과들은 이전의 큐비트 연구를 확장하며 양자 다체계와 양자 PCP 추측에 대한 새로운 구조적 통찰을 제공한다.

ABSTRACT

We study the complexity of local Hamiltonians in which the terms pairwise commute. Commuting local Hamiltonians (CLHs) provide a way to study the role of non-commutativity in the complexity of quantum systems and touch on many fundamental aspects of quantum computing and many-body systems, such as the quantum PCP conjecture and the area law. Despite intense research activity since Bravyi and Vyalyi introduced the CLH problem two decades ago [BV03], its complexity remains largely unresolved; it is only known to lie in NP for a few special cases. Much of the recent research has focused on the physically motivated 2D case, where particles are located on vertices of a 2D grid and each term acts non-trivially only on the particles on a single square (or plaquette) in the lattice. In particular, Schuch [Sch11] showed that the CLH problem on 2D with qubits is in NP. Aharonov, Kenneth and Vigdorovich~[AKV18] then gave a constructive version of this result, showing an explicit algorithm to construct a ground state. Resolving the complexity of the 2D CLH problem with higher dimensional particles has been elusive. We prove two results for the CLH problem in 2D: (1) We give a non-constructive proof that the CLH problem in 2D with qutrits is in NP. As far as we know, this is the first result for the commuting local Hamiltonian problem on 2D beyond qubits. Our key lemma works for general qudits and might give new insights for tackling the general case. (2) We consider the factorized case, also studied in [BV03], where each term is a tensor product of single-particle Hermitian operators. We show that a factorized CLH in 2D, even on particles of arbitrary finite dimension, is equivalent to a direct sum of qubit stabilizer Hamiltonians. This implies that the factorized 2D CLH problem is in NP. This class of CLHs contains the Toric code as an example.

연구 동기 및 목표

• 큐비트를 초월하는 2차원 시스템에서 상호작용하는 국소 해밀토니안 문제(CLH)의 복잡도를 규명하는 것, 특히 차원이 2보다 큰 큐딧에 대해.
• Schuch의 2D 큐비트 CLH가 NP에 속한다는 결과를 2차원 큐딧, 특히 큐트리플로 확장하는 것.
• 인수분해된 2D CLH와 큐비트 스테이빌라이저 해밀토니안의 직접합 사이의 구조적 동치성을 확립하는 것, 큐딧 차원에 관계없이.
• 일반 큐딧 시스템에 적용 가능한 새로운 도구와 보조정리를 제공하여, 보다 광범위한 CLH 복잡도 문제 해결에 기여하는 것.

제안 방법

• 큐비트-CLHP-2D가 NP에 속함을 증명하기 위해 $C^*$-대수 구조 이론에 기반한 비구성적 증명을 사용하며, 해밀토니안이 스테이빌라이저 해밀토니안 형태로 작용하는 단순 부분공간의 존재에 의존한다.
• $C^*$-대수의 구조 보조정리를 적용하여 힐베르트 공간을 상호작용하는 연산자에 대해 불변인 부분공간으로 분해함으로써 큐비트 스테이빌라이저 형태로의 축소를 가능하게 한다.
• 각 큐딧의 국소 힐베르트 공간을 유니터리 변환을 통해 큠파일 공간의 텐서곱 형태로 변환하는 기법을 도입하며, 이는 상호작용성과 고유값 구조를 유지한다.
• 항항의 텐서곱 구조와 그들의 상호작용 성질을 활용하여 인수분해된 CLH 문제를 큐비트 스테이빌라이저 해밀토니안의 직접합으로 축소한다.
• 검증자-제보자 프레임워크를 활용한 NP 접근법을 적용하여, 제보자가 부분공간과 유니터리를 제시하고 검증자가 다항 시간 내에 불변성과 고유값 일致성 여부를 검증한다.
• 이중 격자 변환에 의해 2D 격자에서 정점에 있는 큐딧과 변에 있는 큐딧 간의 등가성을 증명하며, 이는 해밀토니안의 구조를 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큐비트를 초월하는 2D 격자에서의 상호작용 국소 해밀토니안 문제에 대해, 구성적 알고리즘이 없음에도 불구하고 큐트리플 CLH가 NP에 속하는가?
• RQ2 각 항이 단일 입자 연산자의 텐서곱으로 이루어진 2D 격자에서의 인수분해된 상호작용 국소 해밀토니안은 큐비트 스테이빌라이저 해밀토니안으로 축소될 수 있는가?
• RQ3 CLH 문제의 복잡도는 큐비트를 초월해도 여전히 다루기 쉬운가, 특히 임의의 유한 차원 큐딧에 대해서도 그렇단 말인가?
• RQ4 C^*$-대수의 구조적 결과를 활용하여 비큐비트 CLH에 대해 NP에 속함을 증명할 수 있는가?
• RQ5 2D 상호작용 해밀토니안 시스템에서 정점에 있는 큐딧과 변에 있는 큐딧의 설정은 동치인가?

주요 결과

• 큐비트-CLHP-2D는 해밀토니안이 단순 부분공간에서 스테이빌라이저 형태로 축소되는 비구성적 증거에 기반하여 NP에 속함을 입증하였다.
• 인수분해된 2D CLH의 경우, 큐딧 차원에 관계없이 전체 해밀토니안은 큐비트 스테이빌라이저 해밀토니안의 직접합과 동치이며, 이는 NP에 속함을 의미한다.
• 이 증명은 일반 큐딧으로의 결과 확장을 위해 유용할 수 있는 상호작용 연산자에 관한 보조정리를 도입한다.
• 이중 격자 구성에 의해 2D 격자에서 정점에 있는 큐딧과 변에 있는 큐딧 간의 등가성이 확립되었으며, 이는 해밀토니안의 구조를 유지한다.
• 큐비트-CLHP-2D의 사영형이 NP에 속하므로, 고유값 증거를 이용한 축소를 통해 일반형도 NP에 속함을 의미한다.
• 결과적으로 높은 차원의 큐딧이 존재하더라도 상호작용의 구조 덕분에 지구 상태 에너지를 고전적으로 검증할 수 있으며, 이는 이 하위클래스가 더 고전적인 성격을 띤다는 것을 시사한다.