[논문 리뷰] Conjectures and results on $x^2$ mod $p^2$ with $4p=x^2+dy^2$

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 22.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 22인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 중심 이항계수와 다항식 $f_k^+(x)$를 포함하는 절단된 하이퍼기하급수형 합에 대해 $p^2$를 법으로 하는 추측적 합동식을 제시하며, 특정 $d$에 대해 소수를 $4p = x^2 + dy^2$ 형태로 표현하는 것과 연결한다. 조합적 항등식, $p$-진 해석학, 그리고 계수 1의 허수 제곱근 이차체와의 연결을 통해, 소수의 산술과 이차형식에 해당하는 $x, y$에 따라 달라지는 $p^2$를 법으로 하는 합에 대한 명시적 공식을 도출한다. 이는 검증된 경우와 $1/\pi$에 대한 무한급수를 포함한다.

ABSTRACT

Given a squarefree positive integer $d$, we want to find integers (or rational numbers with denominators not divisible by large primes) $a_0,a_1,a_2,\ldots$ such that for sufficiently large primes $p$ we have $\sum_{k=0}^{p-1}a_k\equiv x^2-2p$ (mod $p^2$) if $4p=x^2+dy^2$ (and $4 mid x$ if $d=1$), and $\sum_{k=0}^{p-1}a_k\equiv 0$ (mod $p^2$) if $(\frac{-d}p)=-1$. In this paper we give a survey of conjectures and results on this topic and point out the connection between this problem and series for $1/π$.

연구 동기 및 목표

• 중앙 이항계수와 관련된 $f_k^+(x)$ 다항식을 포함하는 형식 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k} f_k^+(x)}{m^k}$의 합에 대해 $p^2$를 법으로 하는 추측적 합동식을 수립하는 것.
• 이러한 합의 값이 특정 제곱수 없는 $d$에 대해 소수 $p$가 $4p = x^2 + dy^2$ 형태로 표현될 수 있음을 연결하는 것, 특히 $d \in \{1,2,3,7,11,19,43,67,163\}$인 경우에 중점적으로 다룸.
• 특히 계수 1의 허수 제곱근 이차체의 맥락에서, $p$-진 방법과 문자합을 활용하여 중심 이항계수 합의 기존 결과를 $p^2$를 법으로 확장하는 것.
• 기존의 라마누잔 유형 항등식과 일치하는 추측적 합동식을 통해 $1/\pi$에 대한 새로운 무한급수를 제시하고 유도하는 것.
• 대수적 수론과 하이퍼기하급수를 연결하는 프레임워크를 통해 이전의 이항계수 합에 대한 $p^2$를 법으로 한 결과들을 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• Gross-Koblitz 공식과 $p$-진 감마 함수를 활용하여 $p$-진 합동식의 맥락에서 가우스 합과 자코비 합을 분석하는 것.
• 조합적 항등식, 특히 $\binom{n+k}{2k} \equiv \frac{\binom{2k}{k}}{(-16)^k} \pmod{p^2}$를 사용하여 델라누아 수와 하이퍼기하급수를 연결하는 것.
• 레전드르 다항식과 생성함수를 적용하여 $\binom{2k}{k}^2 / m^k$를 포함하는 합에 대한 합동식을 도출하는 것.
• 문자합과 자코비 합을 활용하여 소수 $p$의 산술(레전드르 기호를 통한)이 합의 구조와 어떻게 연결되는지 분석하는 것.
• 대칭 다항식 $f_k^+(x)$와 $T_k^2(a,b)$를 구성하여 중심 이항계수 합의 일반화를 도모하고 이와 이차형식을 연결하는 것.
• 컴퓨터적 증거를 통한 추측적 합동식의 검증과 함께, 기존의 $1/\pi$ 급수, 계수 일치 및 모듈러 형식과의 비교를 수행하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제곱수 없는 $d$에 대해, 하이퍼기하급수형 합을 $p^2$를 법으로 표현할 때 $4p = x^2 + dy^2$ 표현과 어떻게 관련될 수 있는가?
• RQ2 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k} f_k^+(x)}{m^k} \mod p^2$의 값과 $\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$의 계수군 구조 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 $f_k^+(x)$와 $T_k^2(a,b)$를 포함하는 추측적 $p^2$-합동식을 통해 새로운 라마누잔 유형의 $1/\pi$ 급수를 도출할 수 있는가?
• RQ4 합동식의 부호와 계수는 레전드르 기호 $\left(\frac{-1}{p}\right)$, $\left(\frac{p}{d}\right)$, $\left(\frac{d}{p}\right)$에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 $f_k^+(x)$ 다항식이 중심 이항계수 합의 일반화와 모듈러 형식, 복소 곱셈과의 연결에서 수행하는 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 소수 $p > 3$에 대해, $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k} f_k^+(9)}{144^k} \equiv 4x^2 - 2p \pmod{p^2}$이 성립하며, 이는 $p = x^2 + 13y^2$ 이고 $\left(\frac{-1}{p}\right) = \left(\frac{p}{13}\right) = 1$일 때 성립하며, 다른 경우에도 유사한 결과가 존재한다.
• 합 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{65k + 22}{144^k} \binom{2k}{k} f_k^+(9) \equiv 22p \pmod{p^2}$이며, 이는 상수항을 포함한 선형 합동식이다.
• $d = 21$인 경우, 합 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k} f_k^+(-7)}{16^k} \equiv 4x^2 - 2p \pmod{p^2}$이 성립하며, 이는 $p = x^2 + 21y^2$ 이고 $\left(\frac{-1}{p}\right) = \left(\frac{p}{3}\right) = \left(\frac{p}{7}\right) = 1$일 때 성립한다.
• 합 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{8851815k + 1356374}{(-29584)^k} \binom{2k}{k} f_k^+(175) \equiv p(1300495\left(\frac{p}{7}\right) + 55879) \pmod{p^2}$이며, 이는 무한급수 $\sum_{k=0}^\infty = \frac{1349770\sqrt{7}}{\pi}$와 일치한다.
• 합 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{312k + 91}{1300^k} \binom{2k}{k} T_k^2(13,13) \equiv 91p \pmod{p^2}$이며, 이는 $T_k^2$ 기반 합에 대한 선형 합동식을 확인한다.
• $m = 144$, $x = 9$, $d = 13$일 때, 합 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k} f_k^+(9)}{144^k} \equiv 2x^2 - 2p \pmod{p^2}$이 성립하며, 이는 $2p = x^2 + 13y^2$ 이고 $\left(\frac{-1}{p}\right) = \left(\frac{p}{13}\right) = -1$일 때 성립한다.