[논문 리뷰] Contraction Metrics in Adaptive Nonlinear Control

Brett T. Lopez, Jean-Jacques Slotine|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 31.

Control and Stability of Dynamical SystemsEngineering참고 문헌 30인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 명시적인 리아푸노프 함수가 필요하지 않은 비선형 시스템의 불확실성을 안정화하기 위해 수축 메트릭을 사용하는 새로운 적응형 비선형 제어 프레임워크를 제안한다. 궤적 수렴의 미분 분석과 매개변수에 의존하는 수축 메트릭을 활용하여, 정착가능한 시스템, 즉 부족구동 및 불일치 불확실성의 경우를 포함해 전역 점근적 안정성을 보장하며, 선형 행렬부등식과 적응 법칙을 통해 수렴 가능성을 증명한다.

ABSTRACT

Lyapunov stability theory is the bedrock of direct adaptive control. Fundamentally, Lyapunov stability requires constructing a distance-like function which must decrease with time to ensure stability. Feedback linearization, backstepping, and sum-of-squares optimization are common approaches for constructing such a distance function, but require the system to possess certain inherent/structural properties or involves solving a non-convex optimization problem. These restrictions/complexities arise because Lyapunov stability theory relies on constructing an explicit distance function. This work uses contraction metrics to derive an adaptive controller for stabilizable nonlinear systems by constructing a distance-like function differentially rather than explicitly. Because stabilizability is in fact equivalent to the existence of a contraction metric, the proposed approach is significantly more general than available results in the literature. In particular, the method can be applied to underactuated systems. More broadly, it can also be used in transfer learning where a feedback controller has been carefully learned for a nominal system, but needs to remain effective in the presence of significant but structured variations in parameters. Simulation results illustrate the approach.

연구 동기 및 목표

• 기본적인 리아푸노프 기반 적응 제어 방법이 제어 리아푸노프 함수를 명시적으로 구성해야 하는 한계를 극복하기 위해.
• 일반적인 적응 제어 프레임워크를 정착 가능 비선형 시스템, 특히 매칭 및 확장된 매칭 불확실성이 있는 시스템에 적용 가능하도록 개발하기 위해.
• 기존에 체계적인 적응 제어 설계가 어려운 부족구동 시스템에 적용 가능하도록 하기 위해.
• 데드존과 매개변수 범위와 같은 강건성 기능을 제어기 설계에 직접 통합하기 위해.
• 비볼록 합의 제곱 최적화 대신 선형 행렬부등식을 사용하여 계산 가능성을 확보하는 접근법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 궤적 간의 미분 거리 함수를 정의하기 위해 제어 수축 메트릭(CCM)을 사용하여 명시적인 리아푸노프 함수 구성 없이 처리한다.
• 매개변수 추정치에 따라 의존하는 메트릭을 갖는 CCM 프레임워크 기반 제어기를 유도하며, 이 메트릭은 적응 법칙에 의해 갱신된다.
• 궤적의 목표 경로에서의 편차를 측정하기 위해 매개변수에 의존하는 리만 에너지 함수 E(x, xd, θ̂)를 도입한다.
• 매개변수 적응 동역학을 다루기 위해 에너지 도함수에 일阶 필터를 적용하여 유한성 보장한다.
• 매개변수 추정치를 갱신하기 위해 적응 법칙 dθ̂/dt = -Γφ(x)ᵀM(γ(1),θ̂)γs(1)를 활용하며, 가상 시스템 분석을 통해 안정성을 확보한다.
• 가상 시스템에 리아푸노프 유사 함수 V를 사용하여 에너지 함수가 0으로 점점 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수축 메트릭을 사용하여 명시적인 제어 리아푸노프 함수가 필요 없이 적응 제어기를 설계할 수 있는가?
• RQ2 제안된 방법은 불일치 또는 확장된 매칭 매개변수 불확실성이 있는 비선형 시스템에 적용 가능한가?
• RQ3 정착 가능성 조건만을 사용하여 부족구동 시스템에 대해 전역 점근적 안정성을 보장할 수 있는가?
• RQ4 데드존과 매개변수 범위와 같은 강건성 기능을 적응 제어 프레임워크에 자연스럽게 통합할 수 있는가?
• RQ5 합의 제곱 최적화의 계산 복잡성을 피하면서도 안정성 보장을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 제어기는 리만 에너지 E(x, xd, θ̂)가 t → ∞ 일 때 0으로 수렴함을 증명함으로써 폐루프 시스템의 전역 점근적 안정성을 보장한다.
• 정착 가능성과 수축 메트릭의 존재성 간의 등가성 덕분에, 이 방법은 부족구동 시스템을 포함한 모든 정착 가능 비선형 시스템에 적용 가능하다.
• 적응 법칙은 매개변수 오차의 유한성과 상태 궤적의 목표 경로로의 점진적 수렴을 보장한다.
• 가상 시스템 분석을 통해 에너지 및 매개변수 오차가 모두 유한함을 확인하였으며, 주어진 조건 하에서 에너지가 지수적으로 감소함을 입증하였다.
• 비볼록 합의 제곱 최적화를 피하기 위해 설계 조건을 선형 행렬부등식으로 재구성함으로써 계산 가능성을 확보하였다.
• 핵심 안정성 증명을 변경하지 않고도 데드존과 매개변수 범위와 같은 강건 기능을 제어기로 확장할 수 있다.