[논문 리뷰] Couple stress theories: Theoretical underpinnings and practical aspects from a new energy perspective

Ali R. Hadjesfandiari, Gary F. Dargush|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 26.

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures참고 문헌 22인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 에너지 기반 접근을 사용하여 쌍대 응력 이론을 철저히 평가하며, 비결정적 형태(즉, MTK-CST 및 M-CST)가 위치 에너지 최소화 과정에서 회전 벡터장의 발산 없음 조건을 위반하는 반면, 결정적이고 비대칭이 일관된 쌍대 응력 이론(C-CST)은 이 조건을 본질적으로 만족함을 보여주며, 이는 C-CST의 내재된 일관성과 탄성체 모델링에서의 열등성을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper, we examine theoretical and practical aspects of several versions of couple stress theory. This includes indeterminate Mindlin-Tiersten-Koiter couple stress theory (MTK-CST), indeterminate symmetric modified couple stress theory (M-CST) and determinate skew-symmetric consistent couple stress theory (C-CST). We observe that MTK-CST and M-CST not only suffer from inconsistencies, these theories also cannot describe properly several elementary deformations, such as pure torsion of a circular bar and pure bending of a plate. By using an energy method, we also demonstrate another aspect of the inconsistency of the indeterminate MTK-CST and M-CST for elastic solids. This is achieved by deriving the governing equilibrium equations for elastic bodies in MTK-CST, M-CST and C-CST. This development shows that the direct minimization of the total potential energy for MTK-CST and M-CST violates the divergence free compatibility condition of the rotation vector field. On the other hand, the direct minimization of the total potential energy for C-CST satisfies this compatibility condition automatically. This result demonstrates another aspect of the inner consistency of C-CST.

연구 동기 및 목표

• 다양한 쌍대 응력 이론의 이론적 일관성을 평가하며, 특히 기본 변형을 모델링하는 데의 능력을 중점적으로 분석한다.
• 순수 휨과 순수 비틀림을 적절히 기술할 수 없는 비결정적 형태인 MTK-CST 및 M-CST와 같은 이론적 모순을 규명한다.
• 탄성체에서 쌍대 응력 이론의 타당성을 평가하기 위한 엄밀한 에너지 기반 프레임워크를 수립한다.
• 오직 결정적이고 비대칭이 일관된 쌍대 응력 이론(C-CST)만이 에너지 최소화 과정에서 회전 벡터장의 발산 없음 조건을 만족함을 입증한다.
• 연속체역학에서 물리적으로 일관된 쌍대 응력 모델을 선택하기 위한 명확한 이론적 기초를 제공한다.

제안 방법

• 변분 원리를 사용하여 탄성체에 대한 MTK-CST, M-CST 및 C-CST의 균형 방정식 유도.
• 전위 에너지 최소화 방법을 적용하여 회전 벡터장의 발산 없음 조건과의 일관성을 평가한다.
• 에너지 방법을 활용하여 비결정적 이론의 모순을 폭 드러내며, 이론이 회전장의 호환성 조건을 유지하지 못함을 분석한다.
• MTK-CST, M-CST 및 C-CST의 수학적 구조를 비교하여 물리적 호환성 조건을 본질적으로 만족하는 형태를 규명한다.
• 벡터 미적분 항등식을 사용하여 오직 C-CST만이 에너지 최소화 하에서 회전 벡터장이 발산 없음을 보장함을 검증한다.
• 경험적 검증을 초월하여 다양한 쌍대 응력 모델의 물리적 일관성을 평가하기 위한 체계적인 이론적 프레임워크를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 비결정적 쌍대 응력 이론인 MTK-CST 및 M-CST는 순수 비틀림과 순수 휨과 같은 기본 변형을 기술하지 못하는가?
• RQ2 전위 에너지의 직접 최소화가 MTK-CST 및 M-CST의 모순을 어떻게 드러내는가?
• RQ3 회전 벡터장의 발산 없음 조건을 만족하는 데서 C-CST는 다른 형태와 무엇이 다른가?
• RQ4 에너지 기반 방법을 사용하여 물리적으로 일관되지 않은 쌍대 응력 모델을 식별할 수 있는가?
• RQ5 왜 C-CST의 비대칭적 구조가 에너지 최소화 과정에서 회전장의 호환성을 유지하는 데 필수적인가?

주요 결과

• 전위 에너지를 직접 최소화할 경우, 비결정적 MTK-CST 및 M-CST 이론은 회전 벡터장의 발산 없음 조건을 위반한다.
• 오직 결정적이고 비대칭이 일관된 쌍대 응력 이론(C-CST)만이 에너지 최소화 과정에서 자동으로 회전 벡터장의 발산 없음 호환성 조건을 만족한다.
• MTK-CST 및 M-CST가 원형 막대의 순수 비틀림과 판의 순수 휨을 기술하지 못하는 것은 근본적인 이론적 결함을 시사한다.
• 에너지 방법을 통해 C-CST는 본질적으로 일관성이 있으며, MTK-CST 및 M-CST는 그 회전장 호환성 조건을 유지하지 못함으로써 일관성이 없음을 드러낸다.
• MTK-CST 및 M-CST의 이론적 불일치는 단순한 수학적 문제를 넘어서 표준 기계적 문제에서 물리적으로 잘못된 예측을 초래한다.
• C-CST는 세 가지 이론 중 오직 하나의 일관된 형태로서, 고체에서 치수 의존성 탄성 거동을 모델링하기 위한 신뢰할 수 있는 기초를 제공한다.