[논문 리뷰] Decorated Defect Construction of Gapless-SPT States

Linhao Li, Masaki Oshikawa외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 07.

Quantum and electron transport phenomena참고 문헌 61인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 $\ mathbb{Z}_2^A \times \mathbb{Z}_2^G$ 및 $\ mathbb{Z}_4^\Gamma$와 같은 전역 대칭을 가진 1차원 스핀 체인에서 비가역 대칭 보호 위상(가역 SPT, gSPT) 상태를 체계적으로 실현하고 분석하기 위해 장식된 결함 구축법을 제안한다. 명시적 모델을 구성하고 비틀린 경계 조건 및 개방 경계 조건을 분석함으로써, 저자들은 비틀린 경계 조건 하에서 비트리비얼 대칭 전하와 열린 경계 조건 하에서 강건한 이중 경계 디세너지가 존재함을 보이며, 비가역 시스템에서의 위상적 불변량에 대한 분석적 이해를 확립한다.

ABSTRACT

Symmetry protected topological (SPT) phases are one of the simplest, yet nontrivial, gapped systems that go beyond the Landau paradigm. In this work, we study an extension of the notion of SPT for gapless systems, namely, gapless symmetry protected topological states. We construct several simple gapless-SPT models using the decorated defect construction, which allow analytical understanding of non-trivial topological features including the symmetry charge under twisted boundary conditions, and boundary (quasi)-degeneracy under open boundary conditions. We also comment on the stability of the gapless-SPT models under symmetric perturbations, and apply small-scale exact diagonalization when direct analytic understanding is not available.

연구 동기 및 목표

• 가역 SPT 위상을 비가역 시스템으로 확장하여, 비가역 SPT(gSPT) 상태의 개념을 도입하는 것.
• 1차원 양자 스핀 체인에서 비가역 SPT 위상을 실현하고 분류하기 위한 체계적인 구축 방법—장식된 결함 구축법—을 개발하는 것.
• 비가역 시스템에서 위상적 불변량을 분석적으로 특성화하는 것—비틀린 경계 조건 하에서의 대칭 전하와 개방 경계 조건 하에서의 경계(준)디세너지.
• 정확한 대각화를 통해 분석 방법이 충분하지 않은 경우 대칭 편향에 대한 gSPT 위상의 안정성을 조사하는 것.
• $\ mathbb{Z}_4$ igSPT 모델과 Levin-Gu 모델 간의 연결 고리를 설정하여, 지배 상태 영역에서의 동치성을 확인하는 것.

제안 방법

• 위상 결함에 임계 스핀 체인을 장식함으로써 비가역 위상 순서를 실현하는 장식된 결함 접근법을 통해 gSPT 및 igSPT 모델을 구성하는 것.
• 해밀토니안을 정확히 XX 체인으로 매핑하기 위해 조르단-바이어너 전환을 사용하여, 비틀린 경계 조건 하에서 지배 상태의 대칭 전하를 분석적으로 계산하는 것.
• 도메인 월을 해독하고 저에너지 해밀토니안을 분석에 적합한 형태로 단순화하기 위해 유니터리 변환(예: $U_{DW}$)을 적용하는 것.
• 개방 경계 조건(OBC) 하에서 스펙트럼을 분석하기 위해 해밀토니안과 교환 가능한 보존 경계 연산자를 식별하고, 이를 통해 디세너지된 지배 상태를 도출하는 것.
• 저에너지 유효 이론을 연속체 장 이론으로 매핑하고, 경계 조건을 $\theta(0/L) = \pm \pi/2$로 표기함으로써 에너지 분리가 $\propto 1/L$ 비례함을 도출하는 것.
• 분석적 처리가 실패할 경우 안정성과 분석 예측을 검증하기 위해 소규모 정확한 대각화를 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 장식된 결함 구축법은 어떻게 비가역 SPT 위상으로 일반화될 수 있으며, 그 결과로 도출되는 위상 불변량은 무엇인가?
• RQ2 $\mathbb{Z}_2^A \times \mathbb{Z}_2^G$ gSPT 모델에서 비틀린 경계 조건 하에서 지배 상태의 대칭 전하는 무엇인가?
• RQ3 개방 경계 조건 하에서 비가역 SPT 위상에서의 이중 경계 디세너지의 기원과 성질은 무엇인가?
• RQ4 $\mathbb{Z}_4$ igSPT 모델과 $\mathbb{Z}_2^A \times \mathbb{Z}_2^G$ gSPT 모델은 지배 상태 구조 측면에서 Levin-Gu 모델과 어떻게 비교될 수 있는가?
• RQ5 gSPT 위상은 대칭 편향에 대해 안정적인가? 분석 방법이 충분하지 않을 경우 이를 어떻게 평가할 수 있는가?

주요 결과

• $\mathbb{Z}_2^A \times \mathbb{Z}_2^G$ gSPT 모델은 비틀린 경계 조건 하에서 비트리비얼한 $\mathbb{Z}_2^\tau$ 전하를 나타내며, 지배 상태는 $\prod_j \mu^x_j |\text{GS}\rangle_{\text{tw}} = -|\text{GS}\rangle_{\text{tw}}$로 변환된다.
• 개방 경계 조건 하에서 $\mathbb{Z}_2^A \times \mathbb{Z}_2^G$ gSPT 모델은 해밀토니안과 교환 가능한 경계 연산자 $\mu^x_1 \tau^z_{3/2}$ 및 $\tau^z_{L+1/2}$ 덕분에 정확히 두 개의 디세너지된 지배 상태를 지닌다.
• $\mathbb{Z}_4^\Gamma$ igSPT 모델은 OBC 하에서 이중 경계 디세너지를 보이며, 서로 다른 경계 조건 영역 간의 에너지 분리는 $\propto 1/L$ 비례하여 스케일링된다.
• $\mathbb{Z}_4$ igSPT 모델의 지배 상태 영역은 Levin-Gu 모델과 동치이며, 이는 비가역 영역에서 비트리비얼한 위상 불변량을 확인하는 데 기여한다.
• $\mathbb{Z}_2^A \times \mathbb{Z}_4^y \times \mathbb{Z}^\mathbf{T}$ igSPT 모델은 $\mathbb{Z}_2^\mu$ 토글 조건 하에서 $\mathbb{Z}_2^\mu$ 전하를 나타내며, $U_\tau |\text{GS}\rangle_{\text{tw}}^{\mathbb{Z}_2^\mu} = -|\text{GS}\rangle_{\text{tw}}^{\mathbb{Z}_2^\mu}$로 표현되어 비트리비얼한 대칭 보호를 나타낸다.
• 정확한 대각화를 통해 gSPT 및 igSPT 위상의 대칭 편향에 대한 안정성이 확인되었으며, 소규모 시스템에서 수준 교차 현상은 관측되지 않았다.