[논문 리뷰] Estimation of the Hurst and the stability indices of a $H$-self-similar stable process

Thi To Nhu Dang, Jacques Istas|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 18.

Financial Risk and Volatility ModelingEconomics, Econometrics and Finance참고 문헌 17인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 $ -rac{1}{2} < \beta < 0 $ 인 $ \beta $-음의 거듭제곱 변동을 사용하여 $ H $-자기유사 대칭 $ \alpha $-안정 과정의 허스트 매개수 $ H $ 와 안정성 지수 $ \alpha $ 를 위한 새로운 추정 방법을 제안한다. 이 방법은 분수 Brown 운동과 $ S\alpha S $-안정 레비 운동에 대해 수렴 속도와 점근 정규성을 보장하는 일致한 추정량을 제공하며, 양자리 매개수에 대한 사전 지식 없이도 $ H $ 와 $ \alpha $ 를 별도로 추정할 수 있게 한다.

ABSTRACT

In this paper we estimate both the Hurst and the stable indices of a H-self-similar stable process. More precisely, let $X$ be a $H$-sssi (self-similar stationary increments) symmetric $\\alpha$-stable process. The process $X$ is observed at points $\\frac{k}{n}$, $k=0,\\ldots,n$. Our estimate is based on $\\beta$-variations with $-\\frac{1}{2}&lt;\\beta&lt;0$. We obtain consistent estimators, with rate of convergence, for several classical $H$-sssi $\\alpha$-stable processes (fractional Brownian motion, well-balanced linear fractional stable motion, Takenaka's processes, L\\'evy motion). Moreover, we obtain asymptotic normality of our estimators for fractional Brownian motion and L\\'evy motion. Keywords: H-sssi processes; stable processes; self-similarity parameter estimator; stability parameter estimator.

연구 동기 및 목표

• H-sssi 대칭 $ \alpha $-안정 과정의 자기유사성 매개수 $ H $ 와 안정성 지수 $ \alpha $ 에 대한 일치 추정량을 개발하는 것.
• 양자리 매개수에 대한 사전 지식 없이도 $ H $ 와 $ \alpha $ 를 별도로 추정할 수 있도록 하는 것.
• 음의 거듭제곱 변동의 공분산 구조에 대한 일반 조건 하에서 제안된 추정량의 수렴 속도와 점근 정규성을 확립하는 것.
• 분수 Brown 운동, $ S\alpha S $-안정 레비 운동 등 고전적 과정들에 대한 방법의 검증

제안 방법

• 관측된 시간 $ \frac{k}{n} $ 에서 과정 $ X $ 의 $ \beta $-음의 거듭제곱 변동을 기반으로 한 추정.
• 음의 거듭제곱 변동의 모멘트와 공분산 존재성에 의존하며, 안정 분포의 밀도로 인해 $ \beta \in (-\frac{1}{2}, 0) $ 에서 잘 정의됨.
• 음의 거듭제곱 변동의 공분산 급수에 대한 일반적인 가정 하에서 일致성과 수렴 속도를 도출.
• 분수 Brown 운동과 $ S\alpha S $-안정 레비 운동의 경우 추정량의 점근 정규성을 확립.
• 기초 과정의 고차 모멘트 존재성에 대한 가정을 피하는 방법.
• 네 가지 고전적 $ H $-sssi $ \alpha $-안정 과정에 대한 상세한 분석을 통해 이론적 결과의 검증

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일致하고 점근 정규적인 추정량을 $ H $-sssi $ \alpha $-안정 과정에서 $ H $ 와 $ \alpha $ 를 동시에 추정하기 위해 통합 프레임워크로 구성할 수 있는가?
• RQ2 모르는 $ \alpha $ 를 가정하지 않고도 $ H $ 를 추정할 수 있으며, 반대로 $ H $ 를 안다고 가정하지 않고도 $ \alpha $ 를 추정할 수 있는가?
• RQ3 다양한 종류의 $ H $-sssi $ \alpha $-안정 과정에 대해 제안된 추정량의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 추정량의 점근 정규성이 성립하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 $ H $ 와 $ \alpha $ 의 추정량은 $ \beta $-음의 거듭제곱 변동의 공분산 구조에 대한 일반적인 가정 하에서 일치함.
• 분수 Brown 운동과 $ S\alpha S $-안정 레비 운동의 경우, 추정량은 수렴 속도 $ n^{-\frac{1}{2}} $ 와 함께 점근 정규성을 확보함.
• 양자리 매개수에 대한 사전 지식 없이도 $ H $ 와 $ \alpha $ 를 별도로 추정할 수 있음.
• 분수 Brown 운동과 $ S\alpha S $-안정 레비 운동의 경우 추정량의 수렴 속도는 $ O(n^{-1/2}) $ 이다.
• 분수 Brown 운동, $ S\alpha S $-안정 레비 운동, 균형 잡힌 선형 분수 안정 운동, Takenaka의 과정을 포함한 네 가지 고전적 과정의 분석을 통해 이론적 수렴 속도가 검증됨.
• 고차 모멘트의 부재에 대해 강건함. 이는 $ \beta \in (-\frac{1}{2}, 0) $ 에서 음의 거듭제곱 변동의 존재성에만 의존하기 때문이다.