[논문 리뷰] Euclidean and Hermitian LCD MDS codes

Claude Carlet, Sihem Mesnager외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 26.

Coding theory and cryptography참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $q > 3$인 경우 $q$-진 유클리드 LCD MDS 코드의 존재 문제를 완전히 해결하며, 모든 $0 \leq k \leq n \leq q+1$ 및 $q = 2^m$, $n = q+2$, $k = 3$ 또는 $q-1$에 대해 이러한 코드가 존재함을 증명한다. 또한 일반화된 리드-솔로몬 코드, 자기수직 코드, 구조적 생성행렬을 활용하여 새로운 허미션 안티코드 MDS 코드를 구성하며, $k$와 $q$에 대한 특정 조건 하에서 $[2k,k]$, $[2k+1,k]$, $[2k+2,k]$ 코드의 존재성을 확립한다. 주요 기여는 유클리드 LCD MDS 코드의 완전한 특성화와 새로운 허미션 LCD MDS 코드의 구성이다.

ABSTRACT

Linear codes with complementary duals (abbreviated LCD) are linear codes whose intersection with their dual is trivial. When they are binary, they play an important role in armoring implementations against side-channel attacks and fault injection attacks. Non-binary LCD codes in characteristic 2 can be transformed into binary LCD codes by expansion. On the other hand, being optimal codes, maximum distance separable codes (abbreviated MDS) have been of much interest from many researchers due to their theoretical significant and practical implications. However, little work has been done on LCD MDS codes. In particular, determining the existence of $q$-ary $[n,k]$ LCD MDS codes for various lengths $n$ and dimensions $k$ is a basic and interesting problem. In this paper, we firstly study the problem of the existence of $q$-ary $[n,k]$ LCD MDS codes and completely solve it for the Euclidean case. More specifically, we show that for $q>3$ there exists a $q$-ary $[n,k]$ Euclidean LCD MDS code, where $0\le k \le n\le q+1$, or, $q=2^{m}$, $n=q+2$ and $k= 3 ext{or} q-1$. Secondly, we investigate several constructions of new Euclidean and Hermitian LCD MDS codes. Our main techniques in constructing Euclidean and Hermitian LCD MDS codes use some linear codes with small dimension or codimension, self-orthogonal codes and generalized Reed-Solomon codes.

연구 동기 및 목표

• $q > 3$ 및 $0 \leq k \leq n \leq q+1$에 대해 모든 $q$-진 유클리드 LCD MDS 코드의 존재를 결정하는 것.
• 근원의 단위근 성질을 활용한 구조적 생성행렬을 통해 $\mathbb{F}_{q^2}$에서 새로운 허미션 LCD MDS 코드 클래스를 구성하는 것.
• $q$-진 유클리드 LCD MDS 코드의 완전한 특성화를 제공하여 최적의 LCD 코드에 관한 문헌에서 중요한 격차를 메우는 것.
• 일반화된 리드-솔로몬 코드, 자기수직 코드, 소수 차원 또는 작고 차원이 작은 선형 코드를 조합하여 LCD 코드 이론을 확장하는 것.

제안 방법

• 일반화된 리드-솔로몬 코드를 통한 $q$-진 유클리드 LCD MDS 코드 구성 및 캐릭터 합과 추적 수직성에 기반한 이중 교차 분석.
• $G(\alpha) = [A_1 : \alpha A_\gamma]$ 형태의 생성행렬을 사용하여 $\mathbb{F}_{q^2}$ 상의 바르드모인 행렬 $A_1$ 및 $A_\gamma$를 활용해 허미션 내적의 비퇴화성을 보장하는 것.
• $G(\alpha)\overline{G(\alpha)}^T$ 행렬의 비특이성을 확보하기 위해 $k \mid (q^2 - 1)$, $k \not\mid (q+1)$, $k < q^2 - 1$ 조건을 적용하는 것.
• $i + qj \equiv 0 \pmod{k}$일 때 대각성분이 0이 아니라는 것을 보여, 허미션 그램 행렬 $G(\alpha)\overline{G(\alpha)}^T$ 의 비특이성을 증명하는 것.
• 표준 기저 벡터 $e_0$ 및 $e_{k-1}$ 를 추가하여 $[2k+1,k]$ 및 $[2k+2,k]$ 허미션 LCD MDS 코드를 구성하는 것.
• $\beta \overline{\beta} \neq -(1 - \gamma^{-(q+1)})k$ 인 어떤 $\beta \in \mathbb{F}_{q^2}^\times$ 가 존재함을 이용해 확장된 코드가 여전히 LCD임을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $q > 3$일 때 어떤 매개변수 $n$ 과 $k$ 에 대해 $q$-진 유클리드 LCD MDS 코드가 존재하는가?
• RQ2 $n \leq q^2 + 1$ 인 경우 $q^2$-진 허미션 LCD MDS 코드의 존재성이 완전히 특성화될 수 있는가?
• RQ3 $k$ 와 $q$ 에 어떤 조건이 있어야 $\mathbb{F}_{q^2}$ 상에서 $[2k,k]$, $[2k+1,k]$, $[2k+2,k]$ 허미션 LCD MDS 코드가 존재하는가?
• RQ4 일반화된 리드-솔로몬 코드와 자기수직 코드를 어떻게 조합하여 새로운 LCD MDS 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ5 주어진 대수적 제약 조건 하에서 허미션 내적 행렬 $G(\alpha)\overline{G(\alpha)}^T$ 는 비특이한가?

주요 결과

• $q > 3$일 경우, 모든 $0 \leq k \leq n \leq q+1$ 에 대해 $q$-진 $[n,k]$ 유클리드 LCD MDS 코드가 존재한다.
• $q = 2^m$일 경우, $n = q+2$ 이고 $k = 3$ 또는 $k = q-1$ 이면 $q$-진 $[n,k]$ 유클리드 LCD MDS 코드가 존재한다.
• 홀수 $q$ 에 대해, $k \mid (q^2 - 1)$, $k \not\mid (q+1)$, $k < q^2 - 1$ 조건을 만족할 경우 $\mathbb{F}_{q^2}$ 상에서 $[2k,k]$, $[2k+1,k]$, $[2k+2,k]$ 허미션 LCD MDS 코드가 존재한다.
• $i + qj \equiv 0 \pmod{k}$ 이면 $b(i,j) \neq 0$ 임을 보여, 이 조건이 $\gamma$ 및 $k$ 의 기재된 조건 하에 성립함을 통해 행렬 $G(\alpha)\overline{G(\alpha)}^T$ 가 비특이하다.
• $[2k+1,k]$ 및 $[2k+2,k]$ 코드의 구성은 $[2k,k]$ 코드의 생성행렬에 표준 기저 벡터 $e_0$ 및 $e_{k-1}$ 를 추가하여 달성된다.
• 열린 문제로 남아 있는 것은 $q > 3$ 인 경우 $0 \leq k \leq n \leq q^2 + 1$ 를 만족하는 모든 $q^2$-진 허미션 LCD MDS 코드가 존재하는가 여부이다.