[논문 리뷰] Exactly Solvable Lattice Hamiltonians and Gravitational Anomalies

Yu-An Chen, Po-Shen Hsin|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 27.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 63인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 시공간 차원에서 보소닉 그룹 코homology를 초월한 양자 위상적 위상이 존재하는 정확히 해를 가진 격자 해밀토니안의 일반적 구성법을 제시한다. 이는 삼각형 분할 또는 초입방 격자에서 상호작용하는 프로젝터 해밀토니안을 사용한다. 부모 그룹 코호몰로지 SPT 위상에서 1차 및 2차 대칭을 규현함으로써, 저항성과 중력 이상을 포함한 (4+1)D $\bbZ_2$ 대칭의 비가역적 위상이 실현되며, 이는 순서가 2인 비가역적 양자 세포 자동자와 고립된 대칭 경계 상태를 포함한다.

ABSTRACT

We construct infinitely many new exactly solvable local commuting projector lattice Hamiltonian models for general bosonic beyond group cohomology invertible topological phases of order two and four in any spacetime dimensions, whose boundaries are characterized by gravitational anomalies. Examples include the beyond group cohomology invertible phase without symmetry in (4+1)D that has an anomalous boundary $\mathbb{Z}_2$ topological order with fermionic particle and fermionic loop excitations that have mutual $π$ statistics. We argue that this construction gives a new non-trivial quantum cellular automaton (QCA) in (4+1)D of order two. We also present an explicit construction of gapped symmetric boundary state for the bosonic beyond group cohomology invertible phase with unitary $\mathbb{Z}_2$ symmetry in (4+1)D. We discuss new quantum phase transitions protected by different invertible phases across the transitions.

연구 동기 및 목표

• 임의의 시공간 차원에서 보소닉 그룹 코호몰로지 초월 비가역 위상적 위상에 대한 정확히 해를 가진 해밀토니안을 일반적으로 구성하는 방법을 개발하는 것.
• 부모 그룹 코호몰로지 SPT 모델에서 1차 및 2차 대칭을 규현함으로써 이러한 위상을 실현하는 것.
• 특히 (4+1)D에서 이러한 위상의 경계 이론에 중력 이상이 존재함을 보여주는 것.
• (4+1)D $bZ_2$ 대칭의 그룹 코호몰로지 초월 위상에 대해 고립된 대칭 경계 상태를 구성하는 것.
• 다른 위상적 불변량을 가진 비가역 위상에 의해 보호되는 새로운 양자 위상 전이를 규명하는 것.

제안 방법

• 부모 그룹 코호몰로지 SPT 위상은 $bZ_2$-값을 가진 2형 및 3형 게이지 장 $A_2$와 $B_3$를 포함하는 위상적 작용으로 기술된다.
• 파동함수는 4차원 코호몰로지 $ heta_4(a,b)$로부터 유도된 $\theta = \frac{\theta}{2}\theta$를 갖는 위상 인자 $e^{i\theta}$를 사용하여 구성되며, 이는 5차원 작용의 코 boundary이다.
• 해밀토니안은 단위 변환 $H = U H_0 U^\dagger$를 통해 비어 있는 해밀토니안 $H_0 = -\sum_e X_e - \sum_f X_f$에서 유도되며, 여기서 $U$는 위상적 위상을 실현한다.
• 위의 작용은 우 공식을 통해 수정되어 $B_3 \bigcup_1 B_3 = w_2 \bigcup B_3$로 표현되며, 규현 이후 효과적 작용 $\pi \int w_2 \bigcup w_3$로 식별된다.
• 결과로 얻어진 해밀토니안은 유한 차원 국소 힐베르트 공간을 가진 임의의 삼각형 분할 또는 초입방 격자에서 정의된 국소 상호작용 프로젝터의 합이다.
• 경계 상태는 부스러기 해밀토니안을 잘라내어 대칭성과 고립된 구조를 유지함으로써 얻어지며, 이는 페르미온 통계를 가진 입자 및 고리 진동자로 구성된 $bZ_2$ 위상적 순서를 실현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 시공간 차원에서 보소닉 그룹 코호몰로지 초월 비가역 위상적 위상에 대해 정확히 해를 가진 격자 해밀토니안을 구성할 수 있는가?
• RQ2 특히 전역 대칭이 없는 경우, 이러한 격자 모델의 경계에서 중력 이상은 어떻게 나타나는가?
• RQ3 1차 및 2차 대칭은 규현을 통해 비가역 위상적 순서를 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 (4+1)D $bZ_2$ 대칭의 그룹 코호몰로지 초월 위상에 대해 고립된 대칭 경계 상태를 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 비가역 위상이 비가역 코바운드 불변량을 가질 경우, 어떤 새로운 종류의 양자 위상 전이가 보호되는가?

주요 결과

• 저자들은 (4+1)D 그룹 코호몰로지 초월 비가역 위상에 대해 정확히 해를 가진 해밀토니안을 구성하였으며, 이는 효과적 작용 $\pi \int w_2 \bigcup w_3$를 가진다. 이는 1차 및 2차 대칭의 규현을 통해 실현된다.
• 이 모델은 (4+1)D에서 순서가 2인 비가역적 양자 세포 자동자를 실현하여 새로운 종류의 위상적 순서를 확인한다.
• 이 (4+1)D $bZ_2$ 대칭 위상의 경계는 입자 및 고리 진동자가 상호적으로 $\pi$ 통계를 가지며, $bZ_2$ 위상적 순서를 나타낸다.
• 이 (4+1)D $bZ_2$ 대칭 위상에 대해 고립된 대칭 경계 상태가 명시적으로 구성되었으며, 대칭성과 위상적 순서를 유지한다.
• 이 방법은 모든 시공간 차원으로 일반화되며, 스택에 대해 순서 2 또는 4인 모든 보소닉 비가역 위상에 적용 가능하며, 국소 힐베르트 공간이 유한 차원이다.
• 이 구성은 그룹 코호몰로지 초월 위상 간의 인터페이스가 't Hooft 이상과 중력 이상 양쪽 모두에 의해 보호됨을 확인한다. 이는 파oincaré 대칭이 없는 격자 모델에서도 성립한다.