[논문 리뷰] Mean-Square Approximation of Iterated Ito and Stratonovich Stochastic Integrals of Multiplicities 1 to 6 from the Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich Expansions Using Legendre Polynomials

Dmitriy F. Kuznetsov|ArXiv.org|2017. 12. 31.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 27인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 승수 1에서 6까지의 반복 이토 및 스트라토노비치 확률적 적분에 대해 일반화된 다중 푸리에-레지온드르 급수를 사용한 평균 제곱 근사 방법을 제시한다. 이러한 적분의 핵함수를 레지온드르 다항식의 전개로 표현함으로써, 저자들은 명시적인 근사 공식을 유도하고 임의의 승수에 대해 거의 확실히 수렴하는 것을 증명하며, 확률적 미분방정식을 위한 고차 강한 수치적 방법의 가능성을 열어준다.

ABSTRACT

The article is devoted to the practical material on expansions and mean-square approximations of specific iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 6 with respect to components of the multidimensional Wiener process on the base of the method of generalized multiple Fourier series. More precisely, we used the multiple Fourier--Legendre series converging in the sense of norm in the space $L_2([t, T]^k)$ $(k=1,\ldots,6)$ for approximation of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals. The considered iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals are part of the stochastic Taylor expansions (Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions). Therefore, the results of the article can be useful for construction of the high-order strong numerical methods for Ito stochastic differential equations. Expansions of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 6 using Legendre polynomials are derived. The convergence with probability 1 of the mentioned method of generalized multiple Fourier series is proved for iterated Ito stochastic integrals of multiplicities $k$ $(k\in\mathbb{N})$ for the cases of multiple Fourier-Legendre series and multiple trigonometric Fourier series.

연구 동기 및 목표

• 승수 1에서 6까지의 반복 이토 및 스트라토노비치 확률적 적분에 대한 실용적인 평균 제곱 근사 공식을 개발하기 위해.
• 이러한 적분을 $L_2([t,T]^k)$ 노름에서 일반화된 다중 푸리에-레지온드르 급수 전개를 적용하여 근사하기 위해.
• 임의의 승수 $k \in \mathbb{N}$에 대해 반복 이토 적분의 근사 방법이 거의 확실히 수렴함을 확립하기 위해.
• 승수 1에서 4까지의 특정 스트라토노비치 적분에 대한 평균 제곱 근사 오차의 정확한 표현을 제공하기 위해.
• 타일러-이토 및 타일러-스트라토노비치 전개를 통해 이토 확률적 미분방정식을 위한 고차 강한 수치적 방법의 구축을 지원하기 위해.

제안 방법

• 반복 이토 및 스트라토노비치 확률적 적분의 핵함수를 공간 $L_2([t,T]^k)$ 내에서 다중 푸리에-레지온드르 급수로 전개한다.
• 레지온드르 다항식 기저 위로 핵함수의 수직 투영을 이용하여 승수 1에서 6까지의 적분에 대한 근사 공식을 도출한다.
• 다중 확률적 적분 표현에서의 불연속성과 비예측 가능성 성질을 다루기 위해 비트리비얼한 변환을 적용한다.
• 정확한 적분과 그 제한된 레지온드르 급수 전개를 비교하여 평균 제곱 근사 오차의 명시적 표현을 유도한다.
• 임의의 승수 $k$에 대해 반복 이토 적분의 레지온드르 급수 근사가 거의 확실히 수렴함을 증명한다.
• 와이너 과정의 증분 성질과 이토 등식을 활용하여 근사의 오차 항을 계산하고 경계를 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 승수 1에서 6까지의 반복 이토 및 스트라토노비치 확률적 적분은 정규직교 전개를 통해 어떻게 효율적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 승수 1에서 4까지의 특정 스트라토노비치 적분에 대한 평균 제곱 근사 오차의 구조는 어떠한가?
• RQ3 임의의 승수 $k$에 대해 반복 이토 적분에 대해 일반화된 다중 푸리에-레지온드르 급수 전개가 거의 확실히 수렴하는가?
• RQ4 레지온드르 급수의 계수는 확률적 적분 핵함수와 그 대칭성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 이 방법은 타일러-이토 및 타일러-스트라토노비치 전개를 통해 이토 SDE에 대한 고차 강한 수치적 방법으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 레지온드르 다항식 전개를 사용하여 승수 1에서 6까지의 반복 이토 및 스트라토노비치 확률적 적분에 대한 명시적 근사 공식이 도출되었다.
• 적분 $I_{(0000)T,t}^{*(i_1i_2i_3i_4)}$의 평균 제곱 근사 오차는 제곱 계수와 교차항을 포함하는 복잡한 표현으로 주어지며, 주요 항으로 $\frac{(T-t)^4}{16}$이 포함되어 있다.
• 특수한 경우 $i_1 = i_4 \neq i_2 = i_3$에서는 $\sum_{j_4=0}^q \sum_{j_1=0}^{j_4-1} \left( \sum_{j_2=0}^q C_{j_1j_2j_2j_4} + \sum_{j_2=0}^q C_{j_4j_2j_2j_1} \right)^2$ 형태의 항이 포함되어 있다.
• 이 방법은 임의의 승수 $k \in \mathbb{N}$에 대해 반복 이토 적분의 레지온드르 급수 근사가 거의 확실히 수렴함을 보장한다.
• 적분 $I_{(0000)T,t}^{*(i_1i_2i_2i_1)}$의 오차에는 $\frac{(T-t)^4}{48}$의 보정 항이 포함되어 있으며, 이는 이토와 스트라토노비치 해석 간의 차이를 반영한다.
• 수렴 분석을 통해 전개 차수 $q$가 증가함에 따라 근사 오차가 0으로 수렴하며, 특정 경우에 대해 명시적인 경계가 유도되었다.