[논문 리뷰] Expansions of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Multiplicities 1 to 4. Combained Approach Based on Generalized Multiple and Repeated Fourier series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 17.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 33인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 다중 및 반복 푸리에 급수를 사용하여 순서 1에서 4까지의 반복 스트라토노비치 확률적 적분을 확장하는 새로운 병합 접근법을 제시한다. 다중 급수의 $L_2$-노름 수렴과 반복 급수의 점별 수렴을 바탕으로, 이토 적분에 의존하지 않고 평균 제곱 수렴을 확립함으로써, 단일 한계 전이를 통해 이토 확률미분방정식의 효율적인 수치적 근사가 가능해진다.

ABSTRACT

The article is devoted to the expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 4 on the base of the combined approach of generalized multiple and iterated Fourier series. We consider two different parts of the expansion of iterated Stratonovich stochastic integrals. The mean-square convergence of the first part is proved on the base of generalized multiple Fourier series that are converge in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k=1,2,3,4.$ The mean-square convergence of the second part is proved on the base of generalized iterated Fourier series that are converge pointwise. At that, we do not use the iterated Ito stochastic integrals as a tool of the proof and directly consider the iterated Stratonovich stochastic integrals. The cases of multiple Fourier-Legendre series and multiple trigonometric Fourier series are considered in detail. The considered expansions contain only one operation of the limit transition in contrast to its existing analogues. This property is very important for the mean-square approximation of iterated stochastic integrals. The results of the article can be applied to the numerical integration of Ito stochastic differential equations.

연구 동기 및 목표

• 순서 1에서 4까지의 반복 스트라토노비치 확률적 적분을 확장하기 위한 통합 방법을 개발하는 것.
• 수렴 증명 과정에서 반복 이토 적분을 중간 도구로 사용하지 않도록 하는 것.
• 단일 한계 전이를 통해 일반화된 다중 및 반복 푸리에 급수를 사용하여 평균 제곱 수렴을 확보하는 것.
• 이 방법을 이토 확률미분방정식의 수치적 적분에 적용하는 것.
• 확장 프레임워크 내에서 푸리에-레지앙드 급수와 삼각함수 다중 급수의 성능 및 수렴 특성 간 비교

제안 방법

• 순서 $k=1,2,3,4$ 에 대해 $L_2([t, T]^k)$ 에서 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하여 확장의 첫 번째 부분을 표현한다.
• 두 번째 부분에 대해 일반화된 반복 푸리에 급수를 활용하여 점별 수렴을 보장한다.
• 병합 접근법을 푸리에-레지앙드 급수와 삼각함수 다중 급수 확장에 모두 적용한다.
• 다중 급수의 힐베르트 공간 $L_2$ 내 노름 수렴과 반복 급수의 점별 수렴을 통해 수렴성을 확립한다.
• 이토 적분으로의 변환을 피하고, 직접적으로 푸리에 기반 근사에 의해 스트라토노비치 적분을 분석한다.
• 한계 전이의 수를 한 번으로 줄여 수치적 방법의 계산 효율성과 안정성을 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 푸리에 급수를 사용하여 순서 1에서 4까지의 반복 스트라토노비치 확률적 적분을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 제안된 확장 구성 요소의 수렴 행동은 어떠한가? 특히 $L_2$-노름 수렴과 점별 수렴의 관계는?
• RQ3 반복 이토 적분을 중간 도구로 사용하지 않고도 평균 제곱 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ4 푸리에-레지앙드 급수와 삼각함수 다중 급수 간의 근사 정확도와 수렴 속도는 어떻게 비교되는가?
• RQ5 단일 한계 전이가 수치적 안정성과 효율성 향상에 얼마나 기여하는가?

주요 결과

• 확장의 첫 번째 부분은 $k=1,2,3,4$ 에 대해 힐베르트 공간 $L_2([t, T]^k)$ 내에서 일반화된 다중 푸리에 급수를 통해 평균 제곱 수렴을 보인다.
• 확장의 두 번째 부분은 일반화된 반복 푸리에 급수를 사용하여 점별 수렴을 보장하여 실용적 근사에서의 강건성을 확보한다.
• 이 방법은 단일 한계 전이만으로도 수렴을 달성하여 기존의 다중 전이가 필요한 접근법에 비해 뚜렷한 개선을 이룬다.
• 이 방법은 안정성과 수렴 보장 덕분에 이토 확률미분방정식의 수치적 해법에 직접 적용 가능하다.
• 푸리에-레지앙드 급수와 삼각함수 다중 급수를 모두 엄밀히 분석하여 다양한 기저 함수에 적용 가능함을 보여준다.
• 이론적 유도 과정에서 스트라토노비치 적분을 이토 적분으로 변환할 필요가 없어지며, 이는 이론적 유도를 단순화하고 계산 효율성을 높인다.